វិធីសាស្រ្តស៊េរីស្វ័យគុណ

ក្នុងគណិតវិទ្យា​ ​ វិធីសាស្រ្តស៊េរីស្វ័យគុណ(power series method) គឺជាវិធីសាស្រ្តរកចំលើយរបស់ស៊េរីស្វ័យគុណ អោយទៅជាសមីការឌីផេរ៉ងើស្យែ ។

វិធីសាស្រ្ត

ចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់២

$a_2(z)f^{″}(z)+a_1(z)f^{\prime }(z)+a_0(z)f(z)=0$

ឧបមាថា a₂ មិនសូន្យគ្រប់ z ។ នោះយើងអាចចែកវាហើយទទួលបាន

$f^{″}+\frac{a_1(z)}{a_2(z)}{f}^{\prime }+\frac{a_0(z)}{a_2(z)}f=0$

ហើយឧបមាទៀតថា a₁/a₂ និង a₀/a₂ គឺជាអនុគមន៍អាណាលីទីក(analytic function អនុគមន៍ទាល់) ។

វិធីសាស្រ្តស៊េរីស្វ័យគុណទទួលបានទំរង់នៃចំលើយនៃស៊េរីស្វ័យគុណ

$f=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{A}_k{z}^k$

បើ a₂ ស្មើសូន្យ ចំពោះ zខ្លះ នោះវិធីសាស្រ្តហ្រ្វូបេនៀស ដែលជាវិធីសាស្រ្តផ្នែកមួយនៃវិធីសាស្រ្តនេះ គឺត្រូវនឹងចំនុចទោល ។

ឧទាហរណ៍

យើងក្រលេកមើល សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលអឺមីត(Hermite differential equation)

$f^{″}-2z{f}^{\prime }+\lambda f=0;\lambda =1$

យើងអាចបង្កើតចំលើយរបស់ស៊េរី

$f=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{A}_k{z}^k$

$f^{\prime }=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}k{A}_k{z}^{k-1}$

$f^{″}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}k(k-1)A_k{z}^{k-2}$

ជំនួសវាចូលទៅក្នុងសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}k(k-1)A_k{z}^{k-2}-2z\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}k{A}_k{z}^{k-1}+\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{A}_k{z}^k=0$

$=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}k(k-1)A_k{z}^{k-2}-\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}2k{A}_k{z}^k+\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{A}_k{z}^k$

សំរួលការបូកចំពោះតួដំបូង

$=\sum _{k+2=0}^{\mathrm{\infty }}(k+2)((k+2)-1)A_{k+2}{z}^{(k+2)-2}-\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}2k{A}_k{z}^k+\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{A}_k{z}^k$

$=\sum _{k=-2}^{\mathrm{\infty }}(k+2)(k+1)A_{k+2}{z}^k-\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}2k{A}_k{z}^k+\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{A}_k{z}^k$

$=(0)(-1)A_0{z}^{-2}+(-1)(0)A_1{z}^{-1}+\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(k+2)(k+1)A_{k+2}{z}^k-\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}2k{A}_k{z}^k+\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{A}_k{z}^k$

$=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(k+2)(k+1)A_{k+2}{z}^k-\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}2k{A}_k{z}^k+\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{A}_k{z}^k$

$=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}((k+2)(k+1)A_{k+2}+(-2k+1)A_k)z^k$

ឥឡូវ បើស៊េរីនេះជាចំលើយ មេគុណទាំងអស់ត្រូវតែស្មើសូន្យ ដូចនេះ

$(k+2)(k+1)A_{k+2}+(-2k+1)A_k=0$

យើងអាចរៀបវាឡើងវិញ ដើម្បីទទួលបានទំនាក់ទំនងចំពោះ​ A_k+2 ។

$(k+2)(k+1)A_{k+2}=-(-2k+1)A_k$

$A_{k+2}=\frac{(2k-1)}{(k+2)(k+1)}{A}_k$

ឥឡូវយើងបាន

$A_2=\frac{-1}{(2)(1)}{A}_0=\frac{-1}{2}{A}_0,A_3=\frac{1}{(3)(2)}{A}_1=\frac{1}{6}{A}_1$

យើងអាចកំនត់ A₀ និង A₁ បើវាមានលក្ខខណ្ឌដើម ឧទាហរណ៍ បើយើងមានសំនួរដែលមានតំលៃដើម ។

ដូចនេះ យើងបាន

$A_4=\frac{1}{4}{A}_2=\left(\frac{1}{4}\right)\left(\frac{-1}{2}\right)A_0=\frac{-1}{8}{A}_0$

$A_5=\frac{1}{4}{A}_3=\left(\frac{1}{4}\right)\left(\frac{1}{6}\right)A_1=\frac{1}{24}{A}_1$

$A_6=\frac{7}{30}{A}_4=\left(\frac{7}{30}\right)\left(\frac{-1}{8}\right)A_0=\frac{-7}{240}{A}_0$

$A_7=\frac{3}{14}{A}_5=\left(\frac{3}{14}\right)\left(\frac{1}{24}\right)A_1=\frac{1}{112}{A}_1$

ហើយចំលើយរបស់ស៊េរីគឺ

$f=A_0{x}^0+A_1{x}^1+A_2{x}^2+A_3{x}^3+A_4{x}^4+A_5{x}^5+A_6{x}^6+A_7{x}^7+\cdots$

$=A_0{x}^0+A_1{x}^1+\frac{-1}{2}{A}_0{x}^2+\frac{1}{6}{A}_1{x}^3+\frac{-1}{8}{A}_0{x}^4+\frac{1}{24}{A}_1{x}^5+\frac{-7}{240}{A}_0{x}^6+\frac{1}{112}{A}_1{x}^7+\cdots$

$=A_0{x}^0+\frac{-1}{2}{A}_0{x}^2+\frac{-1}{8}{A}_0{x}^4+\frac{-7}{240}{A}_0{x}^6+A_{1}x+\frac{1}{6}{A}_1{x}^3+\frac{1}{24}{A}_1{x}^5+\frac{1}{112}{A}_1{x}^7+\cdots$

ដែលយើងអាចបំបែកវាទៅជាផលបូកនៃចំលើយរបស់ស៊េរីឯករាជ្យលីនេអែពីរ

$f=A_0(1+\frac{-1}{2}{x}^2+\frac{-1}{8}{x}^4+\frac{-7}{240}{x}^6+\cdots )+A_1(x+\frac{1}{6}{x}^3+\frac{1}{24}{x}^5+\frac{1}{112}{x}^7+\cdots )$

ដែលអាចសំរួលដោយការប្រើនៃស៊េរីស្វ័គុណដែលមានប្រភាគនៃមេគុណបន្តលំដាប់(hypergeometric series) ។