រូបមន្តញូតុន-កូត្ស

រូបមន្ត​ញូតុន-កូត្ស ឬ ក្បួនញូតុន-កូត្ស​គឺជា​​ក្រុម​រូបមន្ត​​​សំរាប់​គណនា​អាំងតេក្រាលលេខ។ រូបមន្តយកឈ្មោះតាមលោក អ៊ីសាក់ ញូតុន និង រ៉ូចឺ កូត្ស (Roger Cotes) ។

អនុគមន៍ f ស្គាល់​ត្រង់​ចំនុច​មាន​ចន្លោះ​ស្មើៗ​គ្នា $x_i$ ចំពោះ $i=0;1;2;\cdots ;n$ ។ រូបមន្តញូតុន-កូត្ស​ចំពោះដឺក្រេ n កំនត់​ដោយ

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx \sum _{i=0}^n{w}_{i}f(x_i)$

ដែល $x_i=ih+x_0$ ; $h=\frac{x_n-x_0}{n}$ (ប្រវែងជំហាន ឬ ប្រវែងចន្លោះអង្កត់) និង $w_i$ ជាទំនង់។ ទំងន់ $w_i$ អាច​ត្រូវ​បាន​គេ​ទាញ​ចេញ​ពី​ពហុធាឡាហ្ក្រង់គ្រឹះ (Lagrange basis polynomials) ។ វា​អាស្រ័យតែ​នឹង $x_i$ និង​មិន​អាស្រ័យ​នឹងអនុគមន៍ $f$ ។ តាង​អាំងទែប៉ូឡាស្យុងឡាហ្ក្រង់​ដោយ $L(x)$ ចំពោះ​ចំនុច $(x_0,f(x_0)),\cdots (x_n,f(x_n))$ នោះគេបាន

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx \underset{a}{\overset{b}{\int }}L(x)dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sum _{i=0}^{n}f(x_i)l_i(x)dx$

$=\sum _{i=0}^n\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x_i)l_i(x)dx=\sum _{i=0}^{n}f(x_i)\underset{w_i}{\underbrace{\underset{a}{\overset{b}{\int }}{l}_i(x)dx}}$

រូបមន្តញូតុន-កូត្ស​ប្រភេទបិទដែលមានដឺក្រេ n ត្រូវបានគេពោលថា

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx \sum _{i=1}^{n-1}{w}_{i}f(x_i)$

រូបមន្តញូតុន-កូត្ស​ប្រភេទបិទ

រូបមន្តញូតុន-កូត្ស​ប្រភេទបិទ

ដឺក្រេ	ឈ្មោះ	រូបមន្ត	តួអ៊ែររឺ
1	ក្បួនចតុកោណព្នាយ	$\frac{h}{2}(f_0+f_1)$	$-\frac{h^3}{12}{f}^{(2)}(\xi )$
2	ក្បួនស៊ីម្ពសុន (Simpson's rule)	$\frac{h}{3}(f_0+4f_1+f_2)$	$-\frac{h^5}{90}{f}^{(4)}(\xi )$
3	ក្បួនស៊ីម្ពសុន 3/8	$\frac{3h}{8}(f_0+3f_1+3f_2+f_3)$	$-\frac{3h^5}{80}{f}^{(4)}(\xi )$
4	ក្បួនបូដ	$\frac{2h}{45}(7f_0+32f_1+12f_2+32f_3+7f_4)$	$-\frac{8h^7}{945}{f}^{(6)}(\xi )$

សំគាល់៖ $f_i$ គឺជា​ទំរង់​បំព្រួញនៃ $f(x_i)$ ។

រូបមន្តញូតុន-កូត្ស​ប្រភេទបើក

រូបមន្តញូតុន-កូត្ស​ប្រភេទបើក

ដឺក្រេ	ឈ្មោះ	រូបមន្ត	តួអ៊ែររឺ
0	ក្បួនចតុកោណកែង	$2h{f}_1$	$\frac{h^3}{24}{f}^{(2)}(\xi )$
1	គ្មានឈ្មោះ	$\frac{3h}{2}(f_1+f_2)$	$\frac{h^3}{4}{f}^{(2)}(\xi )$
2	គ្មានឈ្មោះ	$\frac{4h}{3}(2f_1-f_2+2f_3)$	$\frac{28h^5}{90}{f}^{(4)}(\xi )$
3	គ្មានឈ្មោះ	$\frac{5h}{24}(11f_1+f_2+f_3+11f_4)$	$\frac{95h^5}{144}{f}^{(4)}(\xi )$

សំរាយបញ្ជាក់​រូបមន្ត

ពហុធាឡាហ្ក្រង់ $L(x)$ នៃ $f$ កំនត់ដោយ៖

$L(x)=v_n(x)\sum _{i=0}^n\frac{y_i}{(x-x_i)v{\text{'}}_n(x_i)}$

ដែល $v_n(x)=\prod _{j=0}^n(x-x_j)$ ។

ហេតុនេះ

$w_i=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{v_n(x)}{(x-x_i)v{\text{'}}_n(x_i)}dx$

ដោយប្តូរអថេរ $y=\frac{x-a}{h}$ គេបាន

$w_i=\frac{b-a}{n}\frac{(-1{)}^{n-i}}{i!(n-i)!}\underset{0}{\overset{n}{\int }}\prod _{k=0,k\ne i}^n(y-k)dy$

អនុវត្តន៍ចំពោះ $n=1$

$\begin{array}{ccc}{w}_0& =& h\frac{(-1{)}^{1-0}}{0!(1-0)!}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\prod _{k=0,k\ne 0}^1(y-k)dy\\ & =& -h\underset{0}{\overset{1}{\int }}(y-1)dy\\ & =& -h{\left[\frac{(y-1{)}^2}{2}\right]}_0^1\\ & =& \frac{h}{2}\end{array}$
ដូច​ខាងលើ​ដែរ​ចំពោះ $w_1=\frac{h}{2}$

តំនភ្ជាប់ក្រៅ

• រូបមន្តញូតុន-កូត្ស ទំព័រគំរូ:Webarchiveនៃគេហទំព័រ Math-Linux.com
• រូបមន្តញូតុន-កូត្សនៅ MathWorld