បណ្តុំកន្សោមរ៉ាឌីកាល់

ក្នុងពិជគណិត បណ្តុំកន្សោមរ៉ាឌីកាល់គឺជា​កន្សោមរ៉ាឌីកាល់​ដែលមាន​កន្សោរ៉ាឌីកាល់​ផ្សេងទៀត។ ឧទាហរណ៍

$\sqrt{5-2\sqrt{5}}$

$\sqrt{5+2\sqrt{6}},$

កន្សោមស៊ាំញ៉ាំ

$\sqrt[3]{2+\sqrt{3}+\sqrt[3]{4}}$

ការផ្តាច់រ៉ាឌីកាល់​ចេញពីកន្សោម​ត្រូវបានគេចាត់ទុកទូទៅថាជាបញ្ហាមួយដ៏​ស្មុគស្មាញ។ ក្នុងករណីពិសេសនៃបណ្តុំកន្សោមរ៉ាឌីកាល់​អាចត្រូវបានគេផ្តាច់រ៉ាឌីកាល់​ដោយសន្មតរ៉ាឌីកាល់​ដែលបានបញ្ចេញជាផលបូកនៃពីរចំនួនអសនិទាន។

$\sqrt{a+b\sqrt{c}}=\sqrt{d}+\sqrt{e}$

$a+b\sqrt{c}=d+e+2\sqrt{de}$

វាអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយរូបមន្តរករឹសនៃសមីការដឺក្រេទី២ ហើយដាក់ផែ្នកដែលមានរ៉ាឌីកាល់ និងផ្នែកដែលគ្មានរ៉ាឌីកាល់នៅលើអង្គទាំងពីរនៃសមីការអោយស្មើគ្នា។

បណ្តុំកន្សោមរ៉ាឌីកាល់អនន្ត

រឹសការ៉េ

ឧទាហរណ៍៖

គេមាន $2=\sqrt{2+2}$ ហើយអាចបំលែងជា $2=\sqrt{2+\sqrt{2+2}}$ គេបាន

$2=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots }}}}$

$3=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\cdots }}}}$

$4=\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\cdots }}}}$

ជាទូទៅ បើ $r$ ជាចំនួនពិតធំជាង១ គេបាន

$r=\sqrt{r(r-1)+\sqrt{r(r-1)+\sqrt{r(r-1)+\sqrt{r(r-1)+\cdots }}}}$

ក្នុងលក្ខខណ្ឌច្បាស់លាស់ បណ្តុំរឹសការ៉េអនន្តដូចជា

$x=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots }}}}$

តំណាងអោយចំនួនសនិទាន។ ចំនួនសនិទាននេះអាចត្រូវបានគេរកឃើញដោយអោយ x ចូលទៅក្នុងរ៉ាឌីកាល់ដែលបង្ហាញដូចសមីការខាងក្រោម៖

$x=\sqrt{2+x}$

ប្រសិនបើយើងធ្វើការដោះស្រាយសមីការនេះ យើងរកឃើញចំលើយ x = ២ (ចំលើយទី២គឺ x = −១ ប៉ុន្តែចំលើយមិនផ្ទៀថផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌទេដោយរឹសការេជាចំនួនវិជ្ជមាន) ។ ប្រសិនបើ n > 0 នោះគេបាន

$\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\cdots }}}}=\frac{1+\sqrt{1+4n}}{2}$

តាមវិធីដូចគ្នាយើងបាន

$\sqrt{n-\sqrt{n-\sqrt{n-\sqrt{n-\cdots }}}}=\frac{-1+\sqrt{1+4n}}{2}$

វិធីនេះនឹងផ្តល់នូវតំលៃចំនួនសនិទាន x ចំពោះគ្រប់តំលៃនៃ n ដែល

$n=x^2+x$

រឹសគូប

ករណីប្រាកដជាក់លាក់ បណ្តុំរឹសគូបអនន្តដូចជា

$x=\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+\cdots }}}}$

អាចតំណាងអោយចំនួនសនិទានផងដែរ។ ដោយកំនត់អោយកន្សោមទាំងមូលស្ថិតនៅខាងក្នុងវាខ្លួនឯង យើងបានសមីការ

$x=\sqrt[3]{6+x}$

ប្រសិនបើយើងដោះស្រាយសមីការនេះ យើងរកឃើញចំលើយ x = 2 ។ យើងឃើញថា

$\sqrt[3]{n+\sqrt[3]{n+\sqrt[3]{n+\sqrt[3]{n+\cdots }}}}$ គឺជារឹសពិតនៃសមីការ$x^3-x-n=0$ ចំពោះគ្រប់ n ដែល n > 0 ។

តាមវិធីដូចគ្នា យើងបាន

$\sqrt[3]{n-\sqrt[3]{n-\sqrt[3]{n-\sqrt[3]{n-\cdots }}}}$ ជារឹសពិតនៃសមីការ $x^3+x-n=0$ ចំពោះគ្រប់ n និង x ដែល n > 0 និង |x| ≥ 1 ។