ទ្រឹស្តីបទរូទ

ក្នុងធរណីមាត្រ ទ្រឹស្តីបទរូទ (Routh's theorem) ពោលដូចខាងក្រោមៈ

តាង $\mathrm{△}ABC$ ជាត្រីកោណដែលមានក្រឡាផ្ទៃ $A_{ABC}$ ។ តាង $\mathrm{F}$, $\mathrm{D}$ និង $\mathrm{E}$ គឺជាចំណុចនៅលើជ្រុងរៀងគ្នា $\overline{AB}$, $\overline{BC}$ និង $\overline{AC}$ ដែលផលធៀប $\frac{AF}{BF}=r,\frac{BD}{CD}=s,\frac{CE}{AE}=t$

និងតាង $\mathrm{I}$, $\mathrm{G}$ និង $\mathrm{H}$ ជាចំណោលរៀងគ្នានៃ $\overline{AD}$ និង $\overline{CF}$, $\overline{AD}$ និង $\overline{BE}$, និង $\overline{BE}$ និង $\overline{CF}$ ដែល

$I=AD\cap CF,G=AD\cap EB$ និង $H=BE\cap CF$

នោះគេបានក្រឡាផ្ទៃនៃត្រីកោណ $\mathrm{△}GHI$ កំណត់ដោយ

$A_{GHI}=\frac{(rst-1{)}^2}{(st+s+1)(rt+t+1)(rs+r+1)}{A}_{ABC}$

បំណកស្រាយទ្រឹស្តីបទ

តាមទ្រឹស្តីបទមេនេឡូស យើងបាន

$\frac{s}{1}\cdot \frac{t+1}{1}\cdot \frac{EG}{GB}=1⟺EG:GB=1:st+s$

ហេតុនេះ

$\frac{A_{GAB}}{A_{ABC}}=\frac{AE}{AC}\cdot \frac{BG}{BE}=\frac{1}{t+1}\cdot \frac{st+s}{st+s+1}=\frac{s}{st+s+1}$

$\Rightarrow A_{GAB}=\frac{s}{st+s+1}\cdot A_{ABC}(i)$

ដូចគ្នាដែរ

$\frac{A_{HBC}}{A_{ABC}}=\frac{t}{tr+t+1}\Rightarrow A_{HBC}=\frac{t}{tr+t+1}\cdot A_{ABC}(ii)$

$\frac{A_{ICA}}{A_{ABC}}=\frac{r}{rs+r+1}\Rightarrow A_{ICA}=\frac{r}{rs+r+1}\cdot A_{ABC}(iii)$

គេបានក្រឡាផ្ទៃនៃត្រីកោណ $\mathrm{△}GHI$ កំណត់ដោយ

$A_{GHI}=A_{ABC}-(A_{GAB}+A_{HBC}+A_{ICA})(*)$

ជំនួស $(i),(ii),(iii)$ ក្នុង $(*)$ គេបាន

$\begin{array}{cc}{A}_{GHI}& =A_{ABC}-\{\frac{s}{st+s+1}\cdot A_{ABC}+\frac{t}{tr+t+1}\cdot A_{ABC}+\frac{r}{rs+r+1}\cdot A_{ABC}\}\\ & =\{1-\frac{s}{st+s+1}-\frac{t}{tr+t+1}-\frac{r}{rs+r+1}\}\cdot A_{ABC}\\ & =\frac{(st+s+1)(tr+t+1)(rs+r+1)-s(tr+t+1)(rs+r+1)-t(st+s+1)(rs+r+1)-r(st+s+1)(tr+t+1)}{(st+s+1)(tr+t+1)(rs+r+1)}\cdot A_{ABC}\end{array}$

ពន្លាតកន្សោមភាគយក គេបានទ្រឹស្តីបទរូទ (Routh's theorem)

$A_{GHI}=\frac{(rst-1{)}^2}{(st+s+1)(rt+t+1)(rs+r+1)}{A}_{ABC}$