ទ្រឹស្តីបទគ្រីន

ក្នុងរូបវិទ្យា និងគណិតវិទ្យា ទ្រឹស្តីបទគ្រីន (Green`s theorem) ផ្តល់ទំនាក់ទំនងរវាងអាំងតេក្រាលខ្សែកោងបិទ $C$ និងអាំងតេក្រាលឌុបលើតំបន់$D$ដែលបិទដោយ $C$ ។ វាជាករណីពិសេសវិមាត្រ២នៃទ្រឹស្តីបទស្តូក(Stokes` theorem) ហើយវាត្រូបានដាក់ឈ្មោះតាមលោក ចច គ្រីន (George Green) ដែលជាអ្នកវិទ្យាសាស្រ្តជាតិអង់គ្លេស​ ។

តាង $C$ ជាខ្សែកោងមានទិសដៅ និងបិទជិតក្នុងប្លង់R² ហើយតាង $D$ ជាតំបន់ដែលបិទដោយ$C$ ។ បើ $L$ និង$M$ ជាអនុគមន៍នៃ (x, y) កំនត់លើប្លង់បើកដែលមាន$D$ ហើយមានដេរីវេជាប់ នោះគេបាន

$\underset{C}{\int }(Ldx+Mdy)=\underset{D}{\iint }(\frac{\partial M}{\partial x}-\frac{\partial L}{\partial y})dA$

ដែល $dA=dxdy$ ។

ពេលខ្លះខ្សែកោងតូចមួយត្រូបានគេដាក់លើសញ្ញាអាំងតេក្រាល$\left({\oint }_C\right)$ ដើម្បីបង្ហាញថាខ្សែកោង $C$ គឺបិទ។

ការបង្ហាញនៅពេល$D$ជាតំបន់ធម្មតា

If D ជាតំបន់ធម្មតា ភ្ជាប់ជាមួយព្រំដែនរបស់វាដែលមាន C₁, C₂, C₃, C₄ ទ្រឹស្តីបទគ្រីនអាចត្រូវបានបង្ហាញ។

ខាងក្រោមនេះគឺជាការបង្ហាញនៃទ្រឹស្តីបទ ចំពោះផ្ទៃសមញ្ញ$D$ មានតំបន់ប្រភេទI ដែលC₂ និង C₄ ជាបន្ទាត់ឈរ។ ការបង្ហាញស្រដៀងគ្នាមានពេលដែល$D$គឺជាតំបន់ប្រភេទ II​ ដែលC₁ និង C₃ ជាបន្ទាត់ត្រង់។

បើវាអាចត្រូវបានបង្ហាញថា

$\underset{C}{\int }Ldx=\underset{D}{\iint }(-\frac{\partial L}{\partial y})dA\mathrm{(}\mathrm{1}\mathrm{)}$

និង

$\underset{C}{\int }Mdy=\underset{D}{\iint }\left(\frac{\partial M}{\partial x}\right)dA\mathrm{(}\mathrm{2}\mathrm{)}$

គឺពិត នោះទ្រឹស្តីបទគ្រីនត្រូបានបង្ហាញក្នុងករណីដំបូង។

កំនត់តំបន់Dប្រភេទI ដូចរូបភាពនៅខាងស្តាំដោយ

$D=\{(x,y)|a\le x\le b,g_1(x)\le y\le g_2(x)\}$

ដែល g₁ និង g₂ ជាអនុគមន៍ជាប់លើ [a, b] ។ គណនាអាំងតេក្រាលឌុបក្នុង (1):

$\underset{D}{\iint }\left(\frac{\partial L}{\partial y}\right)dA$	$=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\underset{g_1(x)}{\overset{g_2(x)}{\int }}[\frac{\partial L}{\partial y}(x,y)dydx]$
	$=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\{L(x,g_2(x))-L(x,g_1(x))\}dx\mathrm{(}\mathrm{3}\mathrm{)}$

ឥឡូវគណនាអាំតេក្រាលខ្សែកោងក្នុង(1)។ C អាចត្រូវគេសរសេរជាប្រជុំនៃខ្សែកោងបួន C₁, C₂, C₃, C₄ ។

ជាមួយ C₁ ប្រើសមីការប៉ារ៉ាមែត្រ : x = x, y = g₁(x), a ≤ x ≤ b ។ នោះគេបាន

$\underset{C_1}{\int }L(x,y)dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\{L(x,g_1(x))\}dx$

ជាមួយ C₃ ប្រើសមីការប៉ារ៉ាមែត្រ : x = x, y = g₂(x), a ≤ x ≤ b ។ នោះគេបាន

$\underset{C_3}{\int }L(x,y)dx=-\underset{-C_3}{\int }L(x,y)dx=-\underset{a}{\overset{b}{\int }}[L(x,g_2(x))]dx$

អាំងតេក្រាលលើ C₃ គឺមិនមាន ព្រោះវាមានទិសដៅអវិជ្ជមាន b ទៅ a ខណះ C ត្រូវបានគេដៅអោយមានទិសដៅវិជ្ជមាន ។ លើ C₂ និង C₄ x រក្សាភាពថេរ មានន័យថា

$\underset{C_4}{\int }L(x,y)dx=\underset{C_2}{\int }L(x,y)dx=0$

ដូច្នេះ​

$\underset{C}{\int }Ldx$	$=\underset{C_1}{\int }L(x,y)dx+\underset{C_2}{\int }L(x,y)dx+\underset{C_3}{\int }L(x,y)dx+\underset{C_4}{\int }L(x,y)dx$
	$=-\underset{a}{\overset{b}{\int }}[L(x,g_2(x))]dx+\underset{a}{\overset{b}{\int }}[L(x,g_1(x))]dx\mathrm{(}\mathrm{4}\mathrm{)}$

ដោយបូកបញ្ចូល (3) ជាមួយ (4) យើងទទួលបាន​ (1)​ ។ ការគណនាស្រដៀងគ្នានេះគេនឹងទទួលបាន (2) ។

ទំនាក់ទំនងនឹងទ្រឹស្តីបទឌីវែរសង់(divergence theorem)

ទ្រឹស្តីបទគ្រីន គឺស្មើនឹងទ្រឹស្តីបទឌីវែរសង់អាណាឡូកដែលមានវិមាត្រ២ដូចខាងក្រោម នៃទ្រឹស្តីបទឌីវែរសង់ :

$\underset{D}{\iint }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅)dA=\underset{C}{\int }𝐅\cdot \widehat{𝐧}ds,$

ដែល $\widehat{𝐧}$ ជាវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់ឯកតាដែលចង្អុលចេញក្រៅលើព្រំដែន ។

ដើម្បីឃើញវា កំនត់ណរម៉ាល់ឯកតានៅក្នុងផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការ។ ដោយ $d𝐫=⟨dx,dy⟩$ ជាវ៉ិចទ័រដែលចង្អុលប៉ះតាមខ្សែកោង ហើយខ្សែកោង C ត្រូវបានដាក់ជាខ្សែកោងអោយមានទិសដៅវិជ្ជមានតាមព្រំដែន នោះវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់ជាវ៉ិទ័រចង្អុលមុះ 90° ទៅខាងស្តាំ ដែលគួរតែ $⟨dy,-dx⟩$ ។ ប្រវែងរបស់វ៉ិចទ័រនេះ គឺ $\sqrt{d{x}^2+d{y}^2}=ds$ ។ ដូចនេះ $\widehat{𝐧}ds=⟨dy,-dx⟩$​ ។​

ឥឡូវតាង $𝐅=⟨P,Q⟩$​ ។ នោះផ្នែកដៃខាងស្តាំទៅជា

$\underset{C}{\int }𝐅\cdot \widehat{𝐧}ds=\underset{C}{\int }Pdy-Qdx$

ដែលតាមរយះទ្រឹស្តីបទគ្រីន ទៅជា

$\underset{C}{\int }-Qdx+Pdy=\underset{D}{\iint }(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y})dA=\underset{D}{\iint }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅)dA$