ក្រលាផ្ទៃរង្វង់

ក្រលាផ្ទៃ​រង្វង់​ដែលមានកាំ r កំនត់ដោយរូបមន្ត $S=\pi r^2$

សំរាយបញ្ជាក់

សមីការរង្វង់ដែលមានផ្ចិតស្ថិតនៅត្រង់គល់ O កំនត់ដោយ

$x^2+y^2=r^2$

ដែល r ជាកាំ ។ យើងសរសេរ y ជាអនុគមន៍នៃអថេរ x និង ចំនួនថេរ r ។

$\begin{array}{cc}\frac{x^2}{r^2}+\frac{y^2}{r^2}& =1\\ \Rightarrow \frac{y}{r}& =\sqrt{1-\frac{x^2}{r^2}}\\ \Rightarrow y& =r\sqrt{1-\frac{x^2}{r^2}}\end{array}$

ដោយស៊ីមេទ្រី ក្រលាផ្ទៃនៃរង្វង់ផ្ចិត O ស្មើនឹងបួនដងនៃក្រលាផ្ទៃរវាង (0, 0) និង (r, 0) ផ្នែកខាងលើអ័ក្សអាប់ស៊ីស​។ យើងអាចធ្វើអាំងតេក្រាល​ដើម្បីគណនាក្រលាផ្ទៃរង្វង់៖

$S=4r\underset{0}{\overset{r}{\int }}\sqrt{1--\frac{x^2}{r^2}}dx$

ដើម្បីរកព្រីមីទីវនៃ $\sqrt{1--\frac{x^2}{r^2}}$ យើងតាង

$x=r\sin \theta$

$\theta =arcsin\frac{x}{r}$

$dx=r\cos \theta d\theta$

ហេតុនេះ

$S=4r\underset{0}{\overset{r}{\int }}\sqrt{1--\frac{x^2}{r^2}}dx=4r\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}r\sqrt{1-{\sin }^2\theta }\cos \theta d\theta$

ដោយ​ $1-{\cos }^2\theta ={\sin }^2\theta$ យើងបាន

$S=4r\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}r\sqrt{1-{\sin }^2\theta }\cos \theta d\theta =4r^2\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\cos }^2\theta d\theta$

ដោយ ${\cos }^2\theta =\frac{1}{2}(1+\cos 2\theta )$ យើងបាន

$\begin{array}{cc}S& =4r^2\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\cos }^2\theta d\theta \\ & =4r^2\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{1}{2}(1+\cos 2\theta )d\theta \\ & =2r^2\theta {|}_0^{\frac{\pi }{2}}+2r^2\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\cos 2\theta d\theta \\ & =\pi r^2+2r^2(\sin 2\theta ){|}_0^{\frac{\pi }{2}}\\ & =\pi r^2\end{array}$

ដូចនេះក្រលាផ្ទៃរង្វង់ដែលមានកាំ r ស្មើនឹង $\pi r^2$