អាំងតេក្រាលមិនកំនត់

អាំងតេក្រាល (​ទំព័រគំរូ:Lang-fr; ទំព័រគំរូ:Lang-en) ហៅ​ជា អនុកល ក៏​បាន គឺ​ជាគន្លឹះ​ដ៏​សំខាន់​នៅ​ក្នុង​គណិត​វិទ្យា ។ បើ​និយាយ​ឱ្យ​ស្រួល​ស្តាប់​ទៅ អាំងតេក្រាល គឺ​ជាអនុគមន៍​មុន​ពេល​ធ្វើ​ដេរីវេ ។

រូបមន្តអាំងតេក្រាលមិនកំណត់មួយចំនួន

C​ ជាចំនួនពិត

រូបមន្តអាំងតេក្រាលមិនកំនត់សំខាន់ៗ

ទំព័រគំរូ:Col-ដើមទំព័រគំរូ:Col-ចុះបន្ទាត់ ទំព័រគំរូ:Spaces$(1).\int e^{x}dx=e^x+C$
ទំព័រគំរូ:Spaces$(2).\int a^{x}dx=\frac{1}{lna}{a}^x+C$
ទំព័រគំរូ:Spaces$(3).\int \frac{1}{x}dx=ln|x|+C$
ទំព័រគំរូ:Spaces$(4).\int x^{p}dx=\frac{1}{p+1}{x}^{p+1}+C($ដែល​ p​ ជាចំនួនពិត)
ទំព័រគំរូ:Spaces$(5).\int \frac{1}{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2a}ln|\frac{x^2-a^2}{x^2+a^2}|+C(a\ne 0)$
ទំព័រគំរូ:Spaces$(6).\int \frac{1}{x^2+a^2}dx=\frac{1}{a}ta{n}^{-1}\frac{x}{a}+C(a\ne 0)$

ទំព័រគំរូ:Spaces$(7).\int sinxdx=-cosx+C$
ទំព័រគំរូ:Spaces$(8).\int cosxdx=sinx+C$
ទំព័រគំរូ:Spaces$(9).\int \frac{1}{co{s}^{2}x}dx=tanx+C$
ទំព័រគំរូ:Spaces$(10).\int \frac{1}{si{n}^{2}x}dx=-cotx+C$
ទំព័រគំរូ:Spaces$(11).\int tanxdx=-ln|cosx|+C$
ទំព័រគំរូ:Spaces$(12).\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=si{n}^{-1}\frac{x}{a}+C(a>0)$
ទំព័រគំរូ:Spaces$(13).\int \frac{1}{\sqrt{x^2-A}}dx=ln|x+\sqrt{x^2+A}|+C(A\ne 0)$
ទំព័រគំរូ:Spaces$(14).\int \sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{1}{2}(x\sqrt{a^2-x^2}+a^{2}si{n}^{-1}\frac{x}{a})+C(a>0)$
ទំព័រគំរូ:Spaces$(15).\int \sqrt{x^2+A}dx=\frac{1}{2}(x\sqrt{x^2+A}+Aln|x+\sqrt{x^2+A}|)+C$

អាំងតេក្រាលដោយផ្នែក

ទំព័រគំរូ:Col-ដើម $(1).\int f(x)g^{\prime }(x)dx=f(x)g(x)-\int f^{\prime }(x)g(x)dx$
$(2).\int f(x)dx=xf(x)-\int x{f}^{\prime }(x)dx$
$(3).\int lnxdx=xlnx-x+C$ ទំព័រគំរូ:Col-ចប់

ឧទាហរណ៏ៈគណនាអាំងតេក្រាល
$(1)\int xsinxdx$

• របៀបគិត: តាង $f(x)=x,g^{\prime }(x)=sinx$ រួចប្រើរូបមន្តអាំងតេក្រាលដោយផ្នែក គេបាន
  

$\int xsinxdx=\int x(-cosx{)}^{\prime }dx=x(-cosx)-\int (x{)}^{\prime }(-cosx)dx$
ទំព័រគំរូ:Spaces $=-xcosx+\int cosxdx=-xcosx+sinx+C$

$(2)\int xlnxdx$
តាង​ $f(x)=lnx,g^{\prime }(x)=x$ គេបាន
$\int xlnxdx=\int lnx(\frac{1}{2}{x}^2{)}^{\prime }dx=lnx(\frac{1}{2}{x}^2)-\int (lnx{)}^{\prime }(\frac{1}{2}{x}^2)dx$
ទំព័រគំរូ:Spaces $=\frac{1}{2}{x}^{2}lnx-\frac{1}{2}\int xdx=\frac{1}{2}{x}^{2}lnx-\frac{1}{4}{x}^2+C$

អាំងតេក្រាលប្តូរអថេរ

គេមានអនុគមន៏ $\phi (x)=t$ គេបាន
$\int f(\phi (x)){\phi }^{\prime }(x)dx=\int f(t)\frac{dt}{dx}dx=\int f(t)dt$

ឧទាហរណ៏ៈគណនាអាំងតេក្រាល
$(1)\int si{n}^{2}xcosxdx$

វិធីសាស្រ្តកំណត់មេគុណ

• ក/ ករណីធម្មតា

• របៀបទី១

ឧទាហរណ៍ $\frac{1}{(x+3)(x+2)(x+5)}=\frac{A}{x+3}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{x+5}$

តម្រូវភាគបែង រួចប្រៀបធៀបមេគុណរួមដឺក្រេនៃ $x$

• ​​ របៀបទី២

គុណអង្គទាំងពីរនឹង $x+3$ រួចយក $x=-3$ គេបាន $A=-\frac{1}{2}$
គុណអង្គទាំងពីរនឹង $x+2$ រួចយក $x=-2$ គេបាន $B=\frac{1}{3}$
គុណអង្គទាំងពីរនឹង $x+5$ រួចយក $x=-5$ គេបាន $C=\frac{1}{6}$

• ខ/ ករណីភាគបែងមានឫសពិត

ឧទាហរណ៍ $\frac{x^2+1}{(x+1)(x-2)(x+7)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x+7}$

គុណអង្គទាំងពីរនឹង $x+1$ រួចយក $x=-1$ គេបាន $A=-\frac{1}{9}$
គុណអង្គទាំងពីរនឹង $x-2$ រួចយក $x=2$ គេបាន $B=\frac{5}{27}$
គុណអង្គទាំងពីរនឹង $x+7$ រួចយក $x=-7$ គេបាន $C=\frac{25}{27}$

• គ/ ករណីភាគបែងមានឫសលំដាប់ខ្ពស់

ឧទាហរណ៍ $\frac{x+2}{(x+3{)}^3(x-1)}=\frac{A}{(x+3{)}^3}+\frac{B}{(x+3{)}^2}+\frac{C}{x+3}+\frac{D}{x-1}$
យក$x=0$ គេបាន​$B=-\frac{3}{16}$

គុណអង្គទាំងពីរនឹង $(x+3{)}^3$ រួចយក $x=-3$ គេបាន $A=\frac{1}{4}$
គុណអង្គទាំងពីរនឹង $x-1$ រួចយក $x=1$ គេបាន $D=\frac{3}{64}$
គុណអង្គទាំងពីរនឹង $x+3$ រួចយក $x\to +\mathrm{\infty }$
គេបាន $0=C+D;C=-\frac{3}{64}$

យក $x=0$ គេបាន $B=-\frac{3}{16}$

• ឃ/​ ករណីភាគបែងមានឫសកុំផ្លិច

ឧទាហរណ៍ $\frac{x+1}{(x-2)(x^2+1)}=\frac{A}{x-2}+\frac{Bx+C}{x^2+1}$

គុណអង្គទាំង២ នឹង $x-2$ គេបាន $A=\frac{3}{5}$
គុណអង្គទាំង២​ នឹង $x^2+1$ រួចយក​ $x=i$

គេបាន $B=-\frac{3}{5};C=-\frac{1}{5}$

• ង/​ ករណីភាគបែងមានឫសកុំផ្លិចលំដាប់ខ្ពស់

ឧទាហរណ៍ $\frac{4}{x^4+1}=\frac{Ax+B}{x^2-\sqrt{2}x+1}+\frac{Cx+D}{x^2+\sqrt{2}x+1}$
ដោយ $f(x)=\frac{4}{x^4+1}$ ជាអនុគមន៍គូ គេបាន

$\frac{Ax+B}{x^2-\sqrt{2}x+1}+\frac{Cx+D}{x^2+\sqrt{2}x+1}=\frac{-Ax+B}{x^2+\sqrt{2}x+1}+\frac{-Cx+D}{x^2-\sqrt{2}x+1}$

គេបាន​ $A=-C;B=D$
គុណអង្គទាំង២នឹង $x^2-\sqrt{2}x+1$ រួចយក $x=i$ គេបាន $A=-\sqrt{2};C=\sqrt{2}$

យក $x=0$ គេបាន $B=D=2$

វិធីសាស្រ្ត OSTROGRADSKI

ប្រើសម្រាប់​គណនាអាំងតេក្រាលអនុគមន៍ប្រភាគសនិទានដែលភាគបែងមានឫសលំដាប់ខ្ពស់ ។

• បើ $\frac{P(x)}{Q(x)}$ មានឫសលំដាប់ខ្ពស់ច្រើន គេបាន៖

$\int \frac{P(x)}{Q(x)}dx=\frac{X(x)}{R(x)}+\int \frac{Y(x)}{S(x)}dx$
ដែល $R(x)=PGCD[Q(x);Q^{\text{'}}(x)]$
$S(x)=\frac{Q(x)}{R(x)}$
$X(x)$​ និង $Y(x)$ ជាពហុធាមានមេគុណត្រូវកំណត់ហើយមានដឺក្រេរៀងគ្នា តូចជាង $R(x)$ និង $S(x)$ មួយឯកតា

ឧទាហរណ៍​ : គណនា $I=\int \frac{1}{(x^3-1{)}^2}dx$

• ក/ តាមប្រភាគសនិទាន

$\frac{1}{(x^3-1{)}^2}=\frac{1}{(x-1{)}^2(x^2+x+1{)}^2}=\frac{A}{(x-1{)}^2}+\frac{B}{x-1}+\frac{Cx+D}{(x^2+x+1{)}^2}+\frac{Ex+F}{x^2+x+1}$

• ខ/​ តាម OSTROGRADSKI

គេបាន​ $Q(x)=(x^3-1{)}^2;Q^{\text{'}}(x)=6x^2(x^3-1);R(x)=PGCD[Q(x);Q^{\text{'}}(x)]=x^3-1;S(x)=\frac{Q(x)}{R(x)}=\frac{(x^3-1{)}^2}{x^3-1}=x^3-1$

$\Rightarrow I=\int \frac{1}{(x^3-1{)}^2}dx=\frac{a{x}^2+bx+c}{x^3-1}+\int \frac{a^{\text{'}}{x}^2+b^{\text{'}}x+c^{\text{'}}}{x^3-1}dx$
ដេរីវេអង្គទាំង២ គេបាន $\frac{1}{(x^3-1{)}^2}=\frac{(2ax+b)(x^3-1)-3x^2(a{x}^2+bx+c)}{(x^3-1{)}^2}+\frac{(a^{\text{'}}{x}^2+b^{\text{'}}x+c^{\text{'}})(x^3-1)}{(x^3-1{)}^2}$
តម្រូវភាគបែង រួចប្រៀបធៀបមេគុណរួមដឺក្រេនៃ$x$ គេបាន​​ $a=0;b=-\frac{1}{3};c=0;a^{\text{'}}=0;b^{\text{'}}=0;c^{\text{'}}=-\frac{2}{3}$
$\Rightarrow I=\int \frac{1}{(x^3-1{)}^2}dx=\frac{-\frac{1}{3}x}{x^3-1}+\int \frac{-\frac{2}{3}}{x^3-1}dx$

អាំងតេក្រាលអនុគមន៍អសនិទាន

• ១/​ អាំងតេក្រាលរាង

$I=\int f(x^{\frac{m}{n}};x^{\frac{p}{q}};......)dx$
គេត្រូវតាង $x=t^k$ ដែល $k$ ជាភាគបែងរួមនៃប្រភាគ $\frac{m}{n};\frac{p}{q};......$

ឧទាហរណ៍ : គណនា $I=\int \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}}dx=\int \frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{4}}}$
តាង $x=t^{12}$

• ២/ អាំងតេក្រាលរាង

$I=\int f[{\left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)}^{\frac{m}{n}};{\left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)}^{\frac{p}{q}};......]dx$
គេតាង $\frac{ax+b}{cx+d}=t^k$ ដែល $k$ ជាភាគបែងរួមនៃប្រភាគ $\frac{m}{n};\frac{p}{q};......$
ឧទាហរណ៍ : គណនា $I=\int \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}dx=\int {\left(\frac{1-x}{1+x}\right)}^{\frac{1}{2}}dx$
តាង $\frac{1-x}{1+x}=t^2\iff x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$

វិធីសាស្រ្តប្តូរអថេរEULER

សម្រាប់​អាំងតេក្រាលមានរាង

$I=\int f(x;\sqrt{a{x}^2+bx+c})dx$

• ក/ បើ Δ<0 ; a>0 តាង $\sqrt{a{x}^2+bx+c}=\sqrt{a}x+t$
  

ឧទាហរណ៍ : គណនា $I=\int \frac{1}{x\sqrt{x^2-x+3}}dx$
តាង $\sqrt{x^2-x+3}=x+t\Rightarrow x=\frac{3-t^2}{1+2t}$

• ខ/ បើ Δ<0 ; c >0 តាង $\sqrt{a{x}^2+bx+c}=xt+\sqrt{c}$
  

ឧទាហរណ៍ : គណនា $I=\int \frac{(1-\sqrt{1+x+x^2}{)}^2}{x^2\sqrt{1+x+x^2}}dx$
តាង $\sqrt{1+x+x^2}=xt+1\Rightarrow x=\frac{1-2t}{t^2-1}$

• គ/ បើ Δ>0 គេបាន $\sqrt{a{x}^2+bx+c}=\sqrt{a(x-x_1)(x-x_2)}$
  

ឧទាហរណ៍ : គណនា $I=\int \frac{\sqrt{x^2+2x}}{x}dx$
តាង $\sqrt{x^2+2x}=xt\Rightarrow x=\frac{2}{t^2-1}$

អាំងតេក្រាលរាង$I=\int \frac{P_n(x)}{\sqrt{a{x}^2+bx+c}}dx$

គេបំលែង $I=\int \frac{P_n(x)}{\sqrt{a{x}^2+bx+c}}dx=P_{n-1}(x)\sqrt{a{x}^2+bx+c}+\lambda \int \frac{1}{\sqrt{a{x}^2+bx+c}}dx$
$P_{n-1}(x)$ ជាពហុធាដឺក្រេ $n-1$ មានមេគុណត្រូវកំណត់ ហើយគេអាចគណនាមេគុណទាំងនោះ​ ដោយដេរីវេអង្គទាំងពីរ រួចប្រៀបធៀមេគុណរួមដឺក្ររេនៃះ$x$ ។

ឧទាហរណ៍ : គណនា $I=\int \frac{x^3+2x^2+3x+4}{\sqrt{x^2+2x+2}}dx$
គេបាន : $I=\int \frac{x^3+2x^2+3x+4}{\sqrt{x^2+2x+2}}dx=(a{x}^2+bx+c)\sqrt{x^2+2x+2}+\lambda \int \frac{1}{\sqrt{x^2+2x+2}}dx$

អាំងតេក្រាលអនុគមន៍ទ្វេធាឌីផេរ៉ង់ស្យែល

$I=\int x^m(a+b{x}^n{)}^{p}dx$
គេអាចគណនាតាមបីករណី៖

• ករណីទី១​:

បើ

$p\in \mathbb{Z}$

តាង​

$x=t^k$

ដែល

$k$

ជាភាគបែងរួមនៃប្រភាគ

$m;n$

ឧទាហរណ៍ : គណនា $I=\int \frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt[4]{x}+1{)}^{10}}dx=\int x^{-\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{4}}+1{)}^{-10}dx$
តាង $x=t^4$

• ករណីទី២:

បើ

$p\in ̸\mathbb{Z};\frac{m+1}{n}\in \mathbb{Z}$

តាង

$a+b{x}^n=t^k;k$

ជាភាគបែងរួមនៃ

$p$

ឧទាហរណ៍ : គណនា $I=\int \frac{\sqrt[3]{1+\sqrt[4]{x}}}{\sqrt{x}}dx=\int x^{-\frac{1}{2}}(1+x^{\frac{1}{4}}{)}^{\frac{1}{3}}dx$
តាង $1+x^{\frac{1}{4}}=t^3\iff x=(t^3-1{)}^4$

• ករណីទី៣:

បើ​

$p\in ̸\mathbb{Z};\frac{m+1}{n}\in ̸\mathbb{Z};\frac{m+1}{n}+p\in \mathbb{Z}$

តាង $a+b{x}^{-n}=t^k$​​ ឬ $\frac{a+b{x}^n}{x^m}$ ដែល​ $k$ ជាភាគបែងរួមនៃ$p$
ឧទាហរណ៍ : គណនា $\int \frac{1}{x^4\sqrt{1+x^2}}dx=\int x^{-4}(1+x^2{)}^{-\frac{1}{2}}dx$
តាង $1+x^{-2}=t^2\iff x=(t^2-1{)}^{-\frac{1}{2}}$

អាំងតេក្រាលដោយផ្នែកដែលមាន៤រាង

ប្រើរូបមន្តអាំងតេក្រាលដោយផ្នែក $\int udv=uv-\int vdu$

• ១/ រាង $\int P(x)sinaxdx;\int P(x)cosaxdx;\int P(x)e^{ax}dx$
  

ដែល $P(x)$ ជាពហុធា​ $;a$​ ជាចំនួនថេរ គេតាង $u=P(x)$
ឧទាហរណ៍ : គណនា $\int xsin2xdx$ តាង $u=x\Rightarrow du=dx$

• ២/ រាង $\int P(x)lo{g}_{a}xdx$ តាង $u=lo{g}_{a}x$
  

ឧទាហរណ៍ : គណនា $\int x^{2}lo{g}_{2}xdx$ តាង $u=lo{g}_{2}x$

• ៣/​ រាង $\int e^{ax}sinaxdx;\int e^{ax}cosaxdx$
  តាង $u=e^{ax}$
  

ឧទាហរណ៍ : គណនា $\int e^{x}cos3xdx$ តាង $u=e^x$

• ៤/ រាង $\int P(x)arcsinxdx;\int P(x)arccosxdx;\int P(x)arctanxdx$ តាង $u=arcsinx;u=arccosx;u=arctanx$
  

ឧទាហរណ៍ : គណនា $\int xarctanxdx$ តាង $u=arctanx\Rightarrow du=\frac{1}{1+x^2}dx$

• ៥/ រាង $\int cosmxcosnxdx;\int sinmxsinnxdx;\int sinmxcosnxdx$
  

ប្រើរូបមន្ត នូឌុប

$cosacosb=\frac{1}{2}[cos(a+b)+cos(a-b)]$
$sinasinb=\frac{1}{2}[cos(a-b)-cos(a+b)]$
$sinacosb=\frac{1}{2}[sin(a+b)+sin(a-b)]$
ឧទាហរណ៍ : គណនា $\int sin4xsin3xdx$

អាំងតេក្រាលរាង​ $I=\int si{n}^{m}xco{s}^{n}xdx;(m;n\in {\mathbb{N}}^{*})$

• ១/​ បើ $m$ សេស តាង $t=cosx$
  
• ២/ បើ $n$​ សេស តាង $t=sinx$
  
• ៣/ បើ $m;n$ គូ ប្រើវិធីបន្ថយដឺក្រេ $co{s}^{2}x=\frac{1+cos2x}{2};si{n}^{2}x=\frac{1-cos2x}{2}$
  

ឧទាហរណ៍ : គណនា $I=\int si{n}^{3}xco{s}^{4}xdx$ តាង $t=cosx$

អាំងតេក្រាលរាង$I=\int si{n}^{m}xco{s}^{n}xdx;(m<0;n<0)$

គេតាង​ $t=tanx\Rightarrow dt=(1+ta{n}^{2}x)dx\iff dx=\frac{1}{1+t^2}dt$
ឧទាហរណ៍ : គណនា $I=\int si{n}^{-\frac{3}{2}}xco{s}^{-1}xdx=\int \frac{1}{si{n}^{\frac{3}{2}}cosx}dx$
បំលែង​ $\frac{1}{si{n}^{\frac{3}{2}cosx}}=(1+\frac{1}{ta{n}^{2}x}{)}^{\frac{3}{4}}(1+ta{n}^2{)}^{\frac{1}{2}}$
តាង $t=tanx\iff dx=\frac{1}{1+t^2}dt$ គេបាន $I=\int t^{-\frac{3}{2}}(1+t^2{)}^{\frac{1}{4}}dt$
តាង $1+t^{-2}=k^4$

អាំងតេក្រាលរាង$I=\int co{s}^{m}xdx;\int si{n}^{n}xdx$

• បើ $m$ សេស $($រៀង$n$​សេស$)$​ ចូរប្រើរូបមន្ត $co{s}^{2}x+si{n}^{2}x=1$
  
• បើ $m$ គូ $($រៀង$n$គូ$)$ ចូរប្រើរូបមន្ត $co{s}^{2}x=\frac{1+cos2x}{2};si{n}^{2}x=\frac{1-cos2x}{2}$
  

ឧទាហរណ៍ : គណនា $I=\int co{s}^{5}xdx=\int co{s}^{4}xcosxdx=\int (1-si{n}^{2}x{)}^{2}cosxdx$
តាង $t=sinx$

អាំងតេក្រាលរាង$I=\int ta{n}^{m}xdx;J=\int co{t}^{n}xdx$

គេប្រើវីធីបន្ថយដឺក្រេ ឧទាហរណ៍ : គណនា $I=\int ta{n}^{5}xdx=\int ta{n}^{3}xta{n}^{2}xdx=\int [ta{n}^{3}x(ta{n}^{2}x+1)-ta{n}^{3}x]dx$

អាំងតេក្រាលអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ $I=\int R(sinx;cosx)dx$

ជាទូទៅ គេតាង$t=tan\frac{x}{2}\Rightarrow x=2arctant\Rightarrow dx=\frac{2}{1+t^2}dt$
$sinx=\frac{2t}{1+t^2};cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2};tanx=\frac{2t}{1-t^2}$
ឧទាហរណ៍ : គណនា $I=\int \frac{1}{1+sinx}dx$
តាង​ $t=tan\frac{x}{2}$

• ករណីពិសេស

• ក/​ បើ $R(-sinx;cosx)=-R(sinx;cosx)$ តាង $t=cosx$
  

ឧទាហរណ៍ : គណនា $I=\int \frac{si{n}^{3}x}{cosx+si{n}^{2}x+1}dx$
$t=cosx\Rightarrow dt=-sinxdx$

• ខ/ បើ $R(sinx;-cosx)=-R(sinx;cosx)$ តាង​ $t=sinx$
  

ឧទាហរណ៍ : គណនា $I=\int \frac{co{s}^{5}x}{si{n}^{3}x+co{s}^{2}x-sinx}dx$
$t=sinx\Rightarrow dt=cosxdx$

• គ/ បើ $R(-sinx;-cosx)=R(sinx;cosx)$ តាង​ $t=tanx\Rightarrow x=arctant\Rightarrow dx=\frac{1}{1+t^2}dt$
  

ឧទាហរណ៍ : គណនា $I=\int \frac{co{s}^{2}x}{si{n}^{2}x+4sinxcosx}dx$
តាង $t=tanx$

វិធីប្តូរអថេរត្រីកោណមាត្រ

• ក/​ បើអនុគមន៍ក្រោមសញ្ញាអាំងតេក្រាលមានរ៉ាឌីកាល់$\sqrt{a^2-x^2}$ គេត្រូវ តាង$x=acost$ ឬ $x=asint$
  

ឧទាហរណ៍ : គណនា $I=\int \sqrt{2-x^2}dx=\int \sqrt{\sqrt{2^2}-x^2}dx$
តាង $x=\sqrt{2}sint\Rightarrow dx=\sqrt{2}costdt;t=arcsin\frac{x}{\sqrt{2}}$

• ខ/ បើអនុគមន៍ក្រោមសញ្ញាអាំងតេក្រាលមានរ៉ាឌីកាល់​ $\sqrt{x^2-a^2}$ គេត្រូវតាង​ $x=\frac{a}{cost}$ ឬ $x=\frac{a}{sint}$
  

ឧទាហរណ៍ : គណនា $I=\int \frac{x^3}{\sqrt{x^2-4}}dx$
តាង $x=\frac{2}{cost}\Rightarrow dx=\frac{2sint}{co{s}^{2}t}dt;t=arccos\frac{2}{x}$

អាំងតេក្រាលរាង $I=\int \frac{a^{\text{'}}sinx+b^{\text{'}}cosx}{asinx+bcosx}dx$

គេត្រូវបំលែង​ : $a^{\text{'}}sinx+b^{\text{'}}cosx=A(asinx+bcosx)+B(acosx-bsinx)$
ឧទាហរណ៍ : គណនា $I=\int \frac{sinx-cosx}{sinx+2cosx}dx$
ដោយ $sinx-cosx=A(sinx+2cosx)+B(cosx-2sinx)=(A-2B)sinx+(2A+B)cosx$
$\Rightarrow A=-\frac{1}{5};B=-\frac{3}{5}$

អាំងតេក្រាលរាង​ $I=\int \frac{a^{\text{'}}sinx+b^{\text{'}}cosx}{(asinx+bcosx{)}^2}dx$

គេត្រូវបំលែង $a^{\text{'}}sinx+b^{\text{'}}cosx=A(asinx+bcosx)+B(acosx-bsinx)$
ឧទាហរណ៍ : គណនា $I=\int \frac{sinx-cosx}{(2sinx+cosx{)}^2}dx$
ដោយ $sinx-cosx=A(2sinx+cosx)+B(2cosx-sinx)=(2A-B)sinx+(A+2B)cosx$
គេបាន $A=\frac{1}{5};B=-\frac{3}{5}$

អាំងតេក្រាលរាង​ $I=\int \frac{a^{\text{'}}sinx+b^{\text{'}}cosx+c^{\text{'}}}{asinx+bcosx+c}dx$

គេត្រូវបំលែង $a^{\text{'}}sinx+b^{\text{'}}cosx+c^{\text{'}}=A(asinx+bcosx+c)+B(acosx-bsinx)+C$
ឧទាហរណ៍ : គណនា $I=\int \frac{sinx-2cosx+3}{sinx+2cosx-3}dx$
ដោយ $sinx-2cosx+3=A(sinx+2cosx-3)+B(cosx-2sinx)+C=(A-2B)sinx+(2A+B)cosx-3A+C$
គេបាន $A=-\frac{3}{5};B=-\frac{4}{5};C=\frac{6}{5}$

អាំតេក្រាលរាង$I=\int \frac{a^{\text{'}}si{n}^{2}x+2b^{\text{'}}sinxcosx+c^{\text{'}}co{s}^{2}x}{asinx+bcosx}dx$

គេត្រូវបំលែង $a^{\text{'}}si{n}^{2}x+2b^{\text{'}}sinxcosx+c^{\text{'}}co{s}^{2}x=(asinx+bcosx)(Asinx+Bcosx)+C(si{n}^{2}x+co{s}^{2}x)$
ឧទាហរណ៍ : គណនា $I=\int \frac{si{n}^{2}x-2sinxcosx+3co{s}^{2}x}{sinx-cosx}dx$
ដោយ $si{n}^{2}x-2sinxcosx+3co{s}^{2}x=(sinx-cosx)(Asinx+Bcosx)+C(si{n}^{2}x+co{s}^{2}x)=(A+C)si{n}^{2}x+(B-A)sinxcosx+(C-B)co{s}^{2}x$
គេបាន $A=0;B=-2;C=1$

មើលផងដែរ

• អាំងតេក្រាលកំណត់
• អាំងតេក្រាលឌុប
• អាំងតេក្រាលត្រីគុណ
• អាំងតេក្រាលខ្សែកោង
• អាំងតេក្រាលផ្ទៃ