ទ្រឹស្តីបទទ្វេធា

ក្នុងគណិតវិទ្យា ទ្រឹស្តីបទទ្វេធា (Binomial Theorem) ឬ រូបមន្តទ្វេធាញូតុន​ ឬ ទ្រឹស្តីបទទ្វេធាញូតុន​​គឺជារូបមន្តដ៏មានសារៈសំខាន់មួយក្នុងការពន្លាតកន្សោមស្វ័យគុណ​នៃផលបូក។ ចំពោះគ្រប់ចំនួនគត់ ឬ ចំនួនកុំផ្លិច a b និង n ជាចំនួនគត់មិនអវិជ្ជមានគេបាន

$(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^{n-k}{b}^k$

ដែល $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ ជា​មេគុណទ្វេធា និង $n!$ តំណាងអោយ​ហ្វាក់តូរ្យែល​នៃ n ។

ឧទាហរណ៍ចំពោះ 2 ≤ n ≤ 5 ៖

$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$

$(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$

$(a+b{)}^4=a^4+4a^{3}b+6a^2{b}^2+4a{b}^3+b^4$

$(a+b{)}^5=a^5+5a^{4}b+10a^3{b}^2+10a^2{b}^3+5a{b}^4+b^5$

ប្រភេទទ្វេធា

ទ្រឹស្តីបទទ្វេធាអាចត្រូវបានគេពោលដោយនិយាយថាស៊្វីតពហុធា

$\{x^k:k=0,1,2,\dots \}$

គឺជាប្រភេទទ្វេធា។

សំរាយបញ្ជាក់

វិធីសាស្ត្រមួយបកស្រាយទ្រឹស្តីបទទ្វេធាគឺប្រើ​វិចារកំនើនគណិតវិទ្យា (mathematical induction) ។

• $n=0,(a+b{)}^0=1=(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{0})a^0{b}^0$
• $n=1,(a+b{)}^1=a+b=(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{0})a^1{b}^0+(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{1})a^0{b}^1$

គេមាន n ជាចំនួនគត់​ធំជាងឬស្មើមួយ យើងនឹងស្រាយបញ្ជាក់ថាប្រសិនបើទំនាក់ទំនងនេះពិតចំពោះ n នោះយើងនឹងស្រាយបញ្ជាក់ថាវាពិតផងដែរចំពោះ n+1

តាមសម្មតិកម្មនៃវិចារកំនើតយើងបាន

$(a+b{)}^{n+1}=(a+b)\cdot \sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^{n-k}{b}^k$

ដោយការពន្លាតកន្សោមគេបាន

$(a+b{)}^{n+1}=a^{n+1}+a\cdot \sum _{k=1}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^{n-k}{b}^k+b\cdot \sum _{k=0}^{n-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^{n-k}{b}^k+b^{n+1}$

ដោយការដាក់ជាកក្តា យើងបាន

$(a+b{)}^{n+1}=a^{n+1}+\sum _{k=1}^n[(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k-1})]a^{n-k+1}{b}^k+b^{n+1}$

ដោយប្រើប្រាស់រូបមន្ត​ត្រីកោណប៉ាស្កាល់​យើងបាន៖

$(a+b{)}^{n+1}=a^{n+1}+\sum _{k=1}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k})a^{n-k+1}{b}^k+b^{n+1}$

ហេតុនេះទំនាក់ទំនងនេះពិតចំពោះ n+1 ដែរ។

ដូចនេះ

$(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^{n-k}{b}^k$

ចំនួនទ្វេធា

ចំនួនទ្វេធា (binomial number) គឺជាចំនួនដែលមានរាង $x^n\pm b^n$ (ចំពោះ n ធំជាងឬស្មើ 2) ។ នៅពេលសញ្ញាដក ឬ n គឺ​ជា​ចំនួនសេស ចំនួនទ្វេធា​នេះ​អាច​ដាក់​ជា​ផលគុណកក្តា៖

$a^n\pm b^n=(a\pm b)(a^{n-1}\mp a^{n-2}b+\cdots \mp a{b}^{n-2}{+}^{n-1})$

ឧទាហរណ៍៖

$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

$a^8-b^8=(a-b)(a+b)(a^2+b^2)(a^4+b^4)$

ដាក់ $a^n-b^n$ ជាកក្តា

$a^n-b^n=(a-b)\left(\sum _{k=0}^{n-1}{a}^k{b}^{n-1-k}\right)$

លក្ខណៈទូទៅ

ទ្រឹស្តីបទទ្វេធាត្រូវបានធ្វើអោយទៅជាទូទៅដោយលោក អ៊ីសាក់ ញូតុន (Isaac Newton) ដែលបានប្រើស៊េរីអនន្ត (infinite series) ចំពោះចំនួនកុំផ្លិច។ ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិតឬចំនួនកុំផ្លិច $a;b$ និង $r$ គេបាន

$(a+b{)}^r=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{r}{k})a^{r-k}{b}^k$

សំរាយបញ្ជាក់

គេមានអនុគមន៍ $f(b)=(a+b{)}^r$ ចំពោះចំនួនថេរ $a,r$។ វាមានភាពស្រួលក្នុងការមើលថា $\frac{d^k}{d{b}^k}f=r(r-1)\cdots (r-k+1)(a+b{)}^{r-k}$ ។ នោះយើងបាន $\frac{d^k}{d{b}^k}f(0)=r(r-1)\cdots (r-k+1)a^{r-k}$ ។ ហេតុនេះស៊េរីតេល័រចំពោះ $f(b)$ ផ្ចិត $0$ គឺ

$(a+b{)}^k=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{r(r-1)\cdots (r-k+1)a^{r-k}{b}^k}{k!}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{r}{k})a^{r-k}{b}^k$