អាំងតេក្រាលកំនត់

និយមន័យ

members.dirtgame.net

• គេមានអនុគមន៍ f(x) ដែលជាប់នៅចន្លោះ [a, b], គេចែកចន្លោះ[a, b] ជា n ផ្នែកស្មើៗគ្នាតាមលំដាប់ x₀(=a), x₁, x₂, ..., x_n(=b) និង តាង $\frac{b-a}{n}=△x$ នោះគេបាន

$\underset{-a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{k=0}^{n-1}f(x_k)△x=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{k=1}^{n}f(x_k)△x$

• ប្រសិនបើ b=a នោះគេបាន

$\underset{a}{\overset{a}{\int }}f(x)dx=0$

ប្រសិនបើ b < a នោះគេបាន

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=-\underset{b}{\overset{a}{\int }}f(x)dx$

រូបមន្ត Newton-Leibnitz

គេអោយអនុគមន៍ f(x) ជាអនុគមន៍កំនត់និងជាប់លើ [a, b] និង F(x) ជាព្រីមីទីវនៃអនុគមន៍ f(x)។ គេបាន $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=[F(x)]{}_a^b=F(b)-F(a)$

លក្ខណៈនៃអាំងតេក្រាលកំនត់

គ្រប់ចំនួនពិត C គេបាន

1. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}Cf(x)dx=C\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$
2. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=-\underset{b}{\overset{a}{\int }}f(x)dx$
3. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}(f(x)\pm g(x))dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\pm \underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)dx$
4. ប្រសិនបើ f(x) ≤ g(x) នៅចន្លោះ [a, b] គេបាន $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)dx$
5. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(u)du=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)dt$
6. f(x) ជាអនុគមន៍ជាប់ នោះគេបាន $\frac{d}{dx}\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)dt=f(x)$

អាំងតេក្រាលដោយផ្នែក

1. គេអោយ u=u(x) និង v=v(x) ជាអនុគមន៍កំនត់និងជាប់លើចន្លោះ [a, b] នោះគេបាន $\underset{a}{\overset{b}{\int }}udv=[u.v]{}_a^b-\underset{a}{\overset{b}{\int }}vdu$

   $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x).g^{\prime }(x)dx=[f(x).g(x)]{}_a^b-\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^{\prime }(x).g(x)dx$

   $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=[x.f(x)]{}_a^b-\underset{a}{\overset{b}{\int }}x.f^{\prime }(x)dx$

វិធីសាស្ត្រគណនាអាំងតេក្រាលកំនត់មួយចំនួន

ក) គណនាអាំងតេក្រាលដែលមានរាង $I=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{U(x)}{U(x)+V(x)}dx$

-វិធីសាស្រ្តដោះស្រាយ: គេតាង $J=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{V(x)}{U(x)+V(x)}dx$

គេបាន I + J = b - a និង I - J = ...? រួចគណនា I ដោយដោះស្រាយប្រព័ន្ធ $\{\begin{array}{c}I+J=b-a\\ I-J=...?\end{array}$

សំគាល់: គេប្រើវិធីសាស្រ្តនេះគណនាអាំងតេក្រាលដែលមានរាង

$I=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{U(sinx)}{U(sinx)+U(cosx)}dx$ ទំព័រគំរូ:Spacesនិង $J=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{U(cosx)}{U(sinx)+U(cosx)}dx$ ដែល $a+b=\frac{\pi }{2}$

រឺ $I=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{U(tanx)}{U(tanx)+U(cotx)}dx$ ទំព័រគំរូ:Spacesនិង $J=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{U(cotx)}{U(tanx)+U(cotx)}dx$ ដែល $a+b=\frac{\pi }{2}$

-វិធីសាស្រ្តដោះស្រាយ: គេតាង $t=\frac{\pi }{2}-x$ រួចគណនា I, J ដោយដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ $\{\begin{array}{c}I+J=b-a\\ I=J\end{array}$

ខ) គេអោយ f ជាអនុគមន៍កំនត់និងជាប់លើ [-a, a]។ គេតាង $I=\underset{-a}{\overset{a}{\int }}f(x)dx$

1. បង្ហាញថាបើ f ជាអនុគមន៍គូលើ [-a, a] នោះគេបាន $I=2\underset{0}{\overset{a}{\int }}f(x)dx$
2. បង្ហាញថាបើ f ជាអនុគមន៍សេសលើ [-a, a] នោះគេបាន I = 0

-វិធីសាស្រ្តដោះស្រាយ: គេមាន $I=\underset{-a}{\overset{0}{\int }}f(x)dx+\underset{0}{\overset{a}{\int }}f(x)dx$

ចំពោះ$\underset{-a}{\overset{0}{\int }}f(x)dx$ គេតាង $t=-x$

គ) គេអោយ f ជាអនុគមន៍កំនត់និងជាប់លើ [a, b]។ គេបាន $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(a+b-x)dx$

-វិធីសាស្រ្តដោះស្រាយ: គេតាង $t=a+b-x$

សំគាល់: គេច្រើនប្រើវិធីសាស្រ្តនេះដើម្បីគណនាអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រដែល:

$a+b=\pi$ រឺ $a+b=\frac{\pi }{2}$ រឺ $a+b=\frac{\pi }{4}$

ឃ) គេអោយ f ជាអនុគមន៍ជាប់ និងជាអនុគមន៍ខួបមានខួប T។ បង្ហាញថា $\underset{a}{\overset{a+T}{\int }}f(x)dx=\underset{a-T}{\overset{a}{\int }}f(x)dx$

-វិធីសាស្រ្តដោះស្រាយ: គេតាង t = x - T

ង) គេអោយ f ជាអនុគមន៍កំនត់និងជាប់។ បង្ហាញថា: $\underset{a}{\overset{2a}{\int }}f(x)dx=\underset{0}{\overset{a}{\int }}[f(x)+f(2a-x)]dx$

-វិធីសាស្រ្តដោះស្រាយ: គេមាន $\underset{a}{\overset{2a}{\int }}f(x)dx=\underset{0}{\overset{a}{\int }}f(x)dx+\underset{a}{\overset{2a}{\int }}f(x)dx$

ចំពោះ $\underset{a}{\overset{2a}{\int }}f(x)dx$ គេតាង t = 2a - x

ច) គេអោយ f ជាអនុគមន៍កំនត់និងជាប់ហើយផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌ f(a+b-x) = f(x)ដែល a, b ជាចំនួនគេស្គាល់ជាមុន។ បង្ហាញថា $\underset{a}{\overset{b}{\int }}xf(x)dx=\frac{a+b}{2}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$

-វិធីសាស្រ្តដោះស្រាយ: គេតាង t = a + b -x

ឆ) គេអោយ b ជាចំនួនពិតវិជ្ជមាន និង f ជាអនុគមន៍ជាប់និងជាអនុគមន៍គូលើ[-a, a]។ បង្ហាញថា $\underset{-a}{\overset{a}{\int }}\frac{f(x)}{b^x+1}dx=\underset{0}{\overset{a}{\int }}f(x)dx$

-វិធីសាស្រ្តដោះស្រាយ: គេមាន $\underset{-a}{\overset{a}{\int }}\frac{f(x)}{b^x+1}dx=\underset{-a}{\overset{0}{\int }}\frac{f(x)}{b^x+1}dx+\underset{0}{\overset{a}{\int }}\frac{f(x)}{b^x+1}dx$

ចំពោះ $\underset{-a}{\overset{0}{\int }}\frac{f(x)}{b^x+1}dx$ គេតាង t = -x

អាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រមួយចំនួន

គេមាន n ជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន

1. $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}si{n}^{n}xdx=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}co{s}^{n}xdx$
2. ក). ប្រសិនបើ n ជាចំនួនគូ នោះគេបាន

$\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}si{n}^{n}xdx=\frac{n-1}{n}.\frac{n-3}{n-2}.......\frac{3}{4}.\frac{1}{2}.\frac{\pi }{2}$

ទំព័រគំរូ:Spacesខ). ប្រសិនបើ n ជាចំនួនសេស នោះគេបាន

$\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}si{n}^{n}xdx=\frac{n-1}{n}.\frac{n-3}{n-2}.......\frac{2}{3}.1$

សំរាយបញ្ជាក់

1. តាង $x=\frac{\pi }{2}-t,\frac{dx}{dt}=-1$ នោះគេបាន $t=\frac{\pi }{2}$ នៅពេល $x=0$ និង $t=0$ នៅពេល $x=\frac{\pi }{2}$

$\therefore \underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\sin }^{n}dx=\underset{\frac{\pi }{2}}{\overset{0}{\int }}{\sin }^n(\frac{\pi }{2}-t)(-1)dt=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\sin }^n(\frac{\pi }{2}-t)dt=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\cos }^{n}tdt=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\cos }^{n}xdx$

2. តាង $I_n=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\sin }^{n}xdx$ ចំពោះ $n\ge 2$ គេបាន

$\begin{array}{cc}{I}_n& =\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\sin }^{n-1}x(-\cos x{)}^{\prime }dx=[{\sin }^{n-1}x(-\cos x){]}_0^{\frac{\pi }{2}}+(n-1)\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\sin }^{n-2}x\cdot {\cos }^{2}xdx\\ & =(n-1)\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\sin }^{n-2}x(1-{\sin }^{2}x)dx=(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_n\end{array}$

$\therefore n{I}_n=(n-1)I_{n-2}\Rightarrow I_n=\frac{n-1}{n}\cdot I_{n-2}⊛$

គេបាន $I_1=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sin xdx=-[\cos x{]}_0^{\frac{\pi }{2}}=1,I_0=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}dx=\frac{\pi }{2}$

ដូចនេះគេបាន$⊛$ កំនត់ដោយ

• ប្រសិនបើ n ជាចំនួនគូ គេបាន ទំព័រគំរូ:Spaces $I_n=\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdots \cdots \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}$
• ប្រសិនបើ n ជាចំនួនសេស គេបាន $I_n=\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdots \cdots \frac{2}{3}\cdot 1$

ឧទាហរណ៍៖ $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\sin }^{5}xdx=\frac{4}{5}\cdot \frac{2}{3}=\frac{8}{15},\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\cos }^{4}xdx=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\sin }^{4}xdx=\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{3}{16}\pi$

សូមមើលផងដែរ

• អាំងតេក្រាលមិនកំនត់
• អាំងតេក្រាលឌុប
• អាំងតេក្រាលត្រីគុណ
• អាំងតេក្រាលខ្សែកោង
• អាំងតេក្រាលផ្ទៃ