ទ្រឹស្តីបទកាសី

ក្នុងគណិតវិទ្យា ទ្រឹស្តីបទកាសី (Casey's theorem) ត្រូវបានគេស្គាល់ផងដែរថាជាទ្រឹស្តីបទទូទៅនៃទ្រឹស្តីបទតូលេមី។ ទ្រឹស្តីបទនេះជាទ្រឹស្តីបទក្នុងធរណីមាត្រអឺគ្លីដដែលត្រូវបានដាក់ឈ្មោះដោយយកឈ្មោះតាមអ្នកគណិតវិទ្យាជនជាតិអៀរឡង់ ចន កាសី (John Casey)

រូបមន្តនៃទ្រឹស្តីបទ

តាង O ជារង្វង់ដែលមានកាំ R ។ តាង $O_{1}, O_{2}, O_{3}, O_{4}$ (តាមលំដាប់រៀងគ្នា) ជាបួនរង្វង់មិនប្រសព្វគ្នាដែលស្ថិតនៅក្នុងរង្វង់ O និងប៉ះនឹងរង្វង់ O ។ កំនត់ $ℓ_{i, j}$ ជារង្វាស់ប្រវែងនៃអង្កត់ប៉ះផ្នែកខាងក្រៅនៃរង្វង់ $O_{i}, O_{j}$ នោះគេបាន

ℓ_{1, 2} ℓ_{3, 4} + ℓ_{1, 4} ℓ_{2, 3} = ℓ_{1, 3} ℓ_{2, 4}

សំគាល់៖ ប្រសិនបើរង្វង់ទាំងបួនជាចំនុចវិញ នោះគេបានទ្រឹស្តីបទតូលេមី។ ហេតុនេះបានគេថាទ្រឹស្តីបទនេះជាទ្រឹស្តីបទទូទៅនៃទ្រឹស្តីបទតូលេមី។

សំរាយបញ្ជាក់

តាង $R_{i}$ ជាកាំនៃរង្វង់ $O_{i}$ by $R_{i}$ និងតាង $K_{i}$ ចំនុចប៉ះរបស់វាទៅនឹងរង្វង់ $O$ ។ យើងនឹងប្រើកំនត់សំគាល់ $O, O_{i}$ ចំពោះផ្ចិតនៃរង្វង់។

កំនត់សំគាល់ចំពោះទ្រឹស្តីបទពីតាករ

ℓ_{i, j}^{2} = \overset{2}{\overline{O_{i} O_{j}}} - (R_{i} - R_{j})^{2}

យើងនឹងសំដែងកន្សោមប្រវែង $ℓ_{i, j}$ នេះជាអនុគមន៍នៃចំនុច $K_{i}, K_{j}$ ។ តាមទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុសចំពោះត្រីកោណ $O_{i} O O_{j}$ យើងបាន

\overset{2}{\overline{O_{i} O_{j}}} = \overset{2}{\overline{O O_{i}}} + \overset{2}{\overline{O O_{j}}} - 2 \overline{O O_{i}} \cdot \overline{O O_{j}} \cdot \cos ∠ O_{i} O O_{j}

ដោយរង្វង់ $O, O_{i}$ ប៉ះគ្នាទៅវិញទៅមក យើងបាន:

\overline{O O_{i}} = R - R_{i}, ∠ O_{i} O O_{j} = ∠ K_{i} O K_{j}

តាង $C$ ជាចំនុចមួយនៅលើរង្វង់ $O$ ។ ដោយយោងតាមទ្រឹស្តីបទស៊ីនុសចំពោះត្រីកោណ $K_{i} C K_{j}$ យើងបាន

\overline{K_{i} K_{j}} = 2 R \cdot \sin ∠ K_{i} C K_{j} = 2 R \cdot \sin \frac{∠ K_{i} O K_{j}}{2}

ហេតុនេះ

\cos ∠ K_{i} O K_{j} = 1 - 2 \sin^{2} \frac{∠ K_{i} O K_{j}}{2} = 1 - 2 \cdot {(\frac{\overline{K_{i} K_{j}}}{2 R})}^{2} = 1 - \frac{\overset{2}{\overline{K_{i} K_{j}}}}{2 R^{2}}

ដោយជំនួសវាចូលក្នុងរូបមន្តខាងលើ យើងបាន

\overset{2}{\overline{O_{i} O_{j}}} = (R - R_{i})^{2} + (R - R_{j})^{2} - 2 (R - R_{i}) (R - R_{j}) (1 - \frac{\overset{2}{\overline{K_{i} K_{j}}}}{2 R^{2}})

\overset{2}{\overline{O_{i} O_{j}}} = (R - R_{i})^{2} + (R - R_{j})^{2} - 2 (R - R_{i}) (R - R_{j}) + (R - R_{i}) (R - R_{j}) \cdot \frac{\overset{2}{\overline{K_{i} K_{j}}}}{R^{2}}

\overset{2}{\overline{O_{i} O_{j}}} = ((R - R_{i}) - (R - R_{j}))^{2} + (R - R_{i}) (R - R_{j}) \cdot \frac{\overset{2}{\overline{K_{i} K_{j}}}}{R^{2}}

ហេតុនេះរង្វាស់ប្រវែងដែលយើងចង់រកគឺ

ℓ_{i, j} = \sqrt{\overset{2}{\overline{O_{i} O_{j}}} - (R_{i} - R_{j})^{2}} = \frac{\sqrt{R - R_{i}} \cdot \sqrt{R - R_{j}} \cdot \overline{K_{i} K_{j}}}{R}

យើងអាចគណនានៅអង្គខាងធ្វេងដោយប្រើជំនួយនៃទ្រឹស្តីបទតូលេមីដើមដែលអនុវត្តចំពោះចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់ $K_{1} K_{2} K_{3} K_{4}$ :

ℓ_{1, 2} ℓ_{3, 4} + ℓ_{1, 4} ℓ_{2, 3} = \frac{1}{R^{2}} \cdot \sqrt{R - R_{1}} \sqrt{R - R_{2}} \sqrt{R - R_{3}} \sqrt{R - R_{4}} (\overline{K_{1} K_{2}} \cdot \overline{K_{3} K_{4}} + \overline{K_{1} K_{4}} \cdot \overline{K_{2} K_{3}})

= \frac{1}{R^{2}} \cdot \sqrt{R - R_{1}} \sqrt{R - R_{2}} \sqrt{R - R_{3}} \sqrt{R - R_{4}} (\overline{K_{1} K_{3}} \cdot \overline{K_{2} K_{4}}) = ℓ_{1, 3} ℓ_{2, 4}

ទ្រឹស្តីបទកាសី

រូបមន្តនៃទ្រឹស្តីបទ

សំរាយបញ្ជាក់

បញ្ជីណែនាំ

ស្វែងរក