វិសមភាពតូលេមី

វិសមភាពតូលេមី (Ptolemy's inequality) ជាវិសមភាពសិក្សាពីចំងាយរវាងបួនចំនុច​ក្នុងលំហអាហ្វីនអឺគ្លីដ។

ពំនោលនៃវិសមភាព

គេមានបួនចំនុច A B C និង D ក្នុងលំហអាហ្វីនអឺគ្លីដ។ គេបាន

$AB\cdot CD\le AC\cdot BD+AD\cdot BC$

សំរាយបញ្ជាក់

វិសមភាពនេះគឺអាចត្រូវបានគេទាញដោយផ្ទាល់ពី​វិសមភាពត្រីកោណដោយប្រើ Involution ។

តាង a b និង c ជារង្វាស់រៀងគ្នានៃ AB AC និង AD ។

យើងគណនា

${\Vert \frac{b}{\Vert b{\Vert }^2}-\frac{c}{\Vert c{\Vert }^2}\Vert }^2=\frac{1}{\Vert b{\Vert }^2}-2\frac{<b|c>}{\Vert b{\Vert }^2\Vert c{\Vert }^2}+\frac{1}{\Vert c{\Vert }^2}=\frac{\Vert b-c{\Vert }^2}{\Vert b{\Vert }^2\Vert c{\Vert }^2}$

$\Vert \frac{b}{\Vert b{\Vert }^2}-\frac{c}{\Vert c{\Vert }^2}\Vert =\frac{\Vert b-c\Vert }{\Vert b\Vert .\Vert c\Vert }$

ដោយអនុវត្តវិសមភាពត្រីកោណចំពោះ $\frac{b}{\Vert b{\Vert }^2},\frac{c}{\Vert c{\Vert }^2},\frac{d}{\Vert d{\Vert }^2}$ គេបាន:

$\frac{\Vert d-c\Vert }{\Vert c\Vert .\Vert d\Vert }\le \frac{\Vert d-b\Vert }{\Vert b\Vert .\Vert d\Vert }+\frac{\Vert b-c\Vert }{\Vert b\Vert .\Vert c\Vert }$

គុណវិសមភាពនេះនឹង $\Vert b\Vert .\Vert c\Vert .\Vert d\Vert$ គេបាន:

$\Vert b\Vert .\Vert d-c\Vert \le \Vert c\Vert .\Vert d-b\Vert +\Vert d\Vert .\Vert b-c\Vert$

ទំព័រគំរូ:កណ្តាល

ករណីពិសេស

នៅពេលបួនចំនុចរៀងគ្នា A B C និង D បង្កើតបានជាចតុកោណប៉ោង គេបានវិសមភាព​នេះផ្ទៀងផ្ទាត់ លុះត្រាតែ​ចតុកោណប៉ោងនោះមិនមែនជាចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់។

សូមមើលផងដែរ

• ទ្រឹស្តីបទតូលេមី