វិសមភាពភីដូ

ក្នុងធរណីមាត្រ វិសមភាពភីដូ (Pedoe's inequality) ត្រូវបានគេយកឈ្មោះតាមអ្នកគណិតវិទូ និង ធរណីមាត្រវិទូជនជាតិអង់គ្លេស​ឈ្មោះ ដាន្យែល ភីដូ (Daniel Pedoe)។ វិសមភាពនេះពោលថា ប្រសិនបើ a, b, និង c ជារង្វាស់ជ្រុងនៃ​ត្រីកោណ​ដែលមាន​ក្រលាផ្ទៃ f និង A, B, និង C គឺជារង្វាស់នៃជ្រុងនៃ​ត្រីកោណ​ដែលមាន​ក្រលាផ្ទៃ F នោះគេបាន

$A^2(b^2+c^2-a^2)+B^2(a^2+c^2-b^2)+C^2(a^2+b^2-c^2)\ge 16Ff$

ហើយវិសមភាពនេះក្លាយជាសមភាព​លុះត្រាតែត្រីកោណ​ទាំងពីរដូចគ្នា។

ចូរកត់សំគាល់ថាកន្សោមនៅអង្គខាងធ្វេងនៃ​វិសមភាព​គឺមិនត្រឹមតែស៊ីមេទ្រីក្រោមចំលាស់ទាំង​៦​នៃសំនុំនៃគូ $\{(A,a),(B,b),(C,c)\}$ នោះទេ ថែមទាំង​(ប្រហែលជាមិនច្បាស់លាស់ទេ) វានៅដដែល(មិនផ្លាស់ប្តូរ) ប្រសិនបើ​ a អាចប្តូរជាមួយនឹង A, b អាចប្តូរជាមួយនឹង B ហើយ c អាចប្តូរជាមួយនឹង C បាន។ ម្យ៉ាងវិញទៀត វាជាអនុគមន៍ស៊ីមេទ្រីនៃគូត្រីកោណ។

វិសមភាពភីដូ​ជាវិសមភាពទូទៅនៃ​វិសមភាពវេតស្សឹនបុក (Weitzenböck's inequality)។

សំរាយបញ្ជាក់

តាមរូបមន្តហេរុងចំពោះត្រីកោណទាំងពីរគេបាន

$\begin{array}{cc}16f^2& =(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)=(a^2+b^2+c^2{)}^2-2(a^4+b^4+c^4)\\ & \Rightarrow 16f^2+2a^4+2b^4+2c^4=(a^2+b^2+c^2{)}^2\end{array}$

$\begin{array}{cc}16F^2& =(A+B+C)(A+B-C)(A-B+C)(B+C-A)=(A^2+B^2+C^2{)}^2-2(A^4+B^4+C^4)\\ & \Rightarrow 16F^2+2A^4+2B^4+2C^4=(A^2+B^2+C^2{)}^2\end{array}$

ដោយប្រើវិសមភាពកូស៊ី គេបាន

$\begin{array}{cc}16Ff+2A^2{a}^2+2B^2{b}^2+2C^2{c}^2& \le \sqrt{(16F^2+2A^4+2B^4+2C^4)}\sqrt{(16f^2+2a^4+2b^4+2c^4)}\\ & \le \sqrt{(A^2+B^2+C^2{)}^2}\sqrt{(a^2+b^2+c^2{)}^2}\\ & \le (A^2+B^2+C^2)(a^2+b^2+c^2)\\ & \le A^2(a^2+b^2+c^2)+B^2(a^2+b^2+c^2)+C^2(a^2+b^2+c^2)\end{array}$

ជាលទ្ធផល

$\begin{array}{cc}16Ff& \le A^2(a^2+b^2+c^2)-2a^2{A}^2+B^2(a^2+b^2+c^2)-2b^2{B}^2+C^2(a^2+b^2+c^2)-2c^2{C}^2\\ & \le A^2(a^2+b^2+c^2-2a^2)+B^2(a^2+b^2+c^2-2b^2)+C^2(a^2+b^2+c^2-2c^2)\\ & \le A^2(b^2+c^2-a^2)+B^2(a^2+c^2-b^2)+C^2(a^2+b^2-c^2)\end{array}$

ដូចនេះ

$\therefore A^2(b^2+c^2-a^2)+B^2(a^2+c^2-b^2)+C^2(a^2+b^2-c^2)\ge 16Ff$

វិសមភាពក្លាយជាសមភាពលុះត្រាតែ

$\frac{a}{A}=\frac{b}{B}=\frac{c}{C}=\sqrt{\frac{f}{F}}$

តំនភ្ជាប់ក្រៅ

• វិសមភាពភីដូ (Pedoe's inequality) ទំព័រគំរូ:En icon