មើលកូដរបស់ អនុគមន៍ពហុហ្គាំម៉ា

[[រូបភាព:Polygamma function.png|thumb|right|300px|ក្រាបនៃអនុគមន៍ពហុហ្គាំម៉ាតាមបណ្តោយអ័ក្សពិត ពណ៌ទឹកក្រូច  m = 0, ពណ៌លឿង m=1, ពណ៌បៃតង m=2, ពណ៌ក្រហម m=3 និងពណ៌ខៀវ m=4]]
ក្នុង[[គណិតវិទ្យា]] '''អនុគមន៍ពហុហ្គាំម៉ា'''នៃលំដាប់ m គឺកំនត់ជា[[ដេរីវេលោការីត]]ទី (m + 1) នៃ[[អនុគមន៍ហ្គាំម៉ា]]៖

:<math>\psi^{(m)}(z) = \left(\frac{d}{dz}\right)^m \psi(z) = \left(\frac{d}{dz}\right)^{m+1} \ln\Gamma(z)</math>

ទីនេះ

:<math>\psi(z) =\psi^{(0)}(z) = \frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}</math>

គឺជា[[អនុគមន៍ឌីហ្គាំម៉ា]] និង <math>\ \Gamma(z)</math> គឺជា[[អនុគមន៍ហ្គាំម៉ា]] ។ [[អនុគមន៍]] <math>\ \psi^{(1)}(z)</math> ជួនកាលត្រូវបានគេហៅថា[[អនុគមន៍ទ្រីហ្គាំម៉ា]] (trigamma function) ។

{| align="center" style="text-align:center"
|+ '''លោការីតនៃ[[អនុគមន៍ហ្គាំម៉ា]] និង អនុគមន៍ពហុហ្គាំម៉ាដំបូងមួយចំនួនក្នុង[[ប្លង់កុំផ្លិច]]'''
|[[រូបភាព:Complex LogGamma.jpg|1000x140px|none]]
|[[រូបភាព:Complex Polygamma 0.jpg|1000x140px|none]]
|[[រូបភាព:Complex Polygamma 1.jpg|1000x140px|none]]
|[[រូបភាព:Complex Polygamma 2.jpg|1000x140px|none]]
|[[រូបភាព:Complex Polygamma 3.jpg|1000x140px|none]]
|[[រូបភាព:Complex Polygamma 4.jpg|1000x140px|none]]
|-
|<math>
\ \ln\Gamma(z)
</math>
|<math>
\ \psi^{(0)}(z)
</math>
|<math>
\ \psi^{(1)}(z)
</math>
|<math>
\ \psi^{(2)}(z)
</math>
|<math>
\ \psi^{(3)}(z)
</math>
|<math>
\ \psi^{(4)}(z)
</math>
|}

== និយមន័យតាមអាំងតេក្រាល ==
អនុគមន៍ពហុហ្គាំម៉ាអាចតំណាងជា[[អាំងតេក្រាល]]
:<math>\psi^{(m)}(z)= (-1)^{(m+1)}\int_0^\infty 
\frac{t^m e^{-zt}} {1-e^{-t}} dt</math>

ដែលមានប្រសិទ្ធភាព Re z >0 និង  m > 0 ។ ចំពោះ  m = 0 សូមមើលនិយមន័យនៃ[[អនុគមន៍ឌីហ្គាំម៉ា]] ។

== ទំនាក់ទំនងរវាងតួជាប់គ្នា ==
អនុគមន៍ពហុហ្គាំម៉ាមាន[[ទំនាក់ទំនងរវាងតួជាប់គ្នា]]
:<math>\psi^{(m)}(z+1)= \psi^{(m)}(z) + (-1)^m\; m!\; z^{-(m+1)}</math>


== ទ្រឹស្តីបទផលគុណ ==
[[ទ្រឹស្តីបទផលគុណ]] 
:<math>k^{m} \psi^{(m-1)}(kz) = \sum_{n=0}^{k-1} 
\psi^{(m-1)}\left(z+\frac{n}{k}\right)</math>

ចំពោះ  <math>m>1</math> និងចំពោះ  <math>m=0</math> [[រូបមន្តផលគុណ]]នៃ[[អនុគមន៍ឌីហ្គាំម៉ា]]៖

:<math>k (\psi(kz)-\log(k)) = \sum_{n=0}^{k-1} 
\psi\left(z+\frac{n}{k}\right)</math>


== តំណាងស៊េរី ==
អនុគមន៍ពហុហ្គាំម៉ាមានតំណាងស៊េរី
:<math>\psi^{(m)}(z) = (-1)^{m+1}\; m!\; \sum_{k=0}^\infty 
\frac{1}{(z+k)^{m+1}}</math>

ដែលមានប្រសិទ្ធភាពចំពោះ <math>\ m > 0</math> និងចំពោះ[[ចំនួនកុំផ្លិច]] <math>\ z</math> មិនមែនជាចំនួនគត់អវិជ្ជមាន។ តំណាងនេះអាចត្រូវបានគេសរសេរបង្រួមឡើងវិញជាអនុគមន៍នៃ[[អនុគមន៍ហឺវីតហ្សេតា]] (Hurwitz zeta function) 
:<math>\psi^{(m)}(z) = (-1)^{m+1}\; m!\; \zeta (m+1,z)</math>

[[អនុគមន៍ហឺវីតហ្សេតា]] (Hurwitz zeta function) អាចត្រូវបានគេស្គាល់ជាអនុគមន៍ទូទៅនៃអនុគមន៍ពហុហ្គាំម៉ាចំពោះលំដាប់មិនមែនជាចំនួនគត់ <math>\mathbb C \backslash \mathbb Z^-</math>


==ស៊េរីតាយល័រ==

ស៊េរីតាយល័រត្រង់ចំនុច z=1 គឺ
:<math>\psi^{(m)}(z+1)= \sum_{k=0}^\infty 
(-1)^{m+k+1} (m+k)!\; \zeta (m+k+1)\; \frac {z^k}{k!}\,</math>
ដែលទាល់ចំពោះ  <math>\ |z|<1</math> ។ ទីនេះ <math>\zeta(n)\,</math> គឺជា[[អនុគមន៍ហ្សេតារីម៉ាន]] (Riemann zeta function)

[[Category:អនុគមន៍]]
[[Category:គណិតវិទ្យា]]