មើលកូដរបស់ រូបមន្តអយល័រ-ម៉ាក្លូរីន

ក្នុង[[គណិតវិទ្យា]] '''រូបមន្តអយល័រ-ម៉ាក្លូរីន''' (Euler–Maclaurin formula) (ឬហៅថា'''រូបមន្តផលបូកអយល័រ''') គឺជាទំនាក់ទំនងរវាង[[អាំងតេក្រាល]]និង[[ផលបូក]]។ វាសំដែងជាផលបូកនៃ[[ស៊េរី]]។ វាត្រូវបានគេប្រើប្រាស់ដើម្បីគណនារកតំលៃប្រហែលនៃ[[អាំងតេក្រាល]]ដោយផលបូកកំនត់មួយ ឬ ច្រាស់មកវិញវាត្រូវបានគេប្រើប្រាស់ដើម្បីរកផលបូកនៃ[[ស៊េរី]]កំនត់និងមិនកំនត់ដោយប្រើ[[អាំងតេក្រាល]]និងម៉ាស៊ីនសំរាប់គណនា។ រូបមន្តនេះត្រូវបានរកឃើញយ៉ាងឯករាជដោយគណិតវិទូស្វ៊ីស [[លេអូណា អយល័រ]] និង គណិតវិទូស្កុត [[កូលីន ម៉ាក្លូរីន]] ប្រហែលជាឆ្នាំ១៧៣៥។ [[អយល័រ]]បានត្រូវការវាដើម្បីគណនា[[ស៊េរីអនន្ត]]ដែល[[ម៉ាក្លូរីន]]បានប្រើវាដើម្បីគណនាអាំងតេក្រាល។

== រូបមន្ត ==
គេមានពីរ[[ចំនួនគត់]] p និង q ។ ចំពោះ[[អនុគមន៍]] f ជា[[អនុគមន៍ជាប់]]និងមាន[[ដេរីវេ]] 2k ដងលើចន្លោះ <math>\ [p, q]</math> គេបានរូបមន្តអយល័រ-ម៉ាក្លូរីនសំដែងដោយ
:<math>\frac{f\left( p\right) +f\left( q\right) }{2}+\sum_{j=p+1}^{q-1}f\left(
j\right) =\int_p^q f(x)\,dx
+\sum_{j=1}^k\frac{b_{2j}}{(2j)!}\left(f^{(2j-1)}(q)-f^{(2j-1)}(p)\right)+R</math>

ដែល
:<math> R = - \int_p^q f^{(2k)}(x) {B_{2k}(x-\lfloor x \rfloor) \over (2k)!}\,dx </math>

<math>\ B_i(x)</math> តំណាងអោយ[[ពហុធាប៊ែរនូយី]]ទី<math>\ i</math> និង <math>B_i(x-\lfloor x \rfloor)</math> គឺជា[[អនុគមន៍ខួប]]។ <math>\ b_i</math> តំណាងអោយ[[ចំនួនប៊ែរនូយី]]៖
:<math>b_1=-\frac{1}{2},b_2=\frac{1}{6},b_3=0,b_4=-\frac{1}{30},b_5=0,b_6=\frac{1}{42},b_7=0,b_8=-\frac{1}{30},b_9=0,b_{10}=\frac{5}{66},\cdots</math>
:<math>B_0(x)=1,B_1(x)=x-\frac{1}{2},B_2(x)=x^2-x+\frac{1}{6},B_3(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{2}x,B_4(x)=x^4-2x^3+x^2-\frac{1}{30},\dots</math>

[[វិធីប្តូរអថេរ]]អាចទទួលបានរូបមន្តដូចគ្នាចំពោះអនុគមន៍មួយកំនត់នៅលើចន្លោះអង្កត់មួយ។
== សំរាយបញ្ជាក់ ==
យើងនឹងស្រាយបញ្ជាក់រូបមន្តនេះនៅចន្លោះ <math>\ [n, n+1]</math> ដែល <math>n \in \mathbb{Z}</math> ។ 

គេមាន[[អនុគមន៍]] <math>\ g</math> មួយជាប់និងមាន[[ដេរីវេ]]លើ <math>\ [n, n+1]</math> ។ ដោយប្រើលក្ខណៈ[[ពហុធាប៊ែរនូយី]] : <math>\forall k \in \mathbb{N} B_{k+1}' = \left(k+1\right) B_{k}</math> 

ដោយប្រើ[[អាំងតេក្រាលដោយផ្នែក]] គេបាន
<math>\int_n^{n+1} g \left( t \right) B_k \left( t-n \right) dt = \left[ \frac{g \left( t \right) B_{k+1} \left( t-n \right)}{k+1} \right]_n^{n+1} - \frac{1}{k+1} \int_n^{n+1} g' \left( t \right) B_{k+1} \left( t-n \right) dt </math>

ដោយដឹងថាចំពោះ <math> k \ge 2 </math> គេបាន <math>B_k \left( 1 \right) = B_k \left( 0 \right) = b_k </math> គេទាញបាន: 

<math>\int_n^{n+1} g \left( t \right) B_k \left( t-n \right) dt = \frac{b_{k+1}}{k+1} \left( g \left( n+1 \right) - g \left( n \right) \right) - \frac{1}{k+1} \int_n^{n+1} g'\left( t\right) B_{k+1} \left( t-n \right) dt </math>

តាមទំនាក់ទំនងរវាងតួតគ្នាលើ k ពី <math>\ 0</math> ទៅ <math>\ 2p</math> ដោយយក<math>\ g = f^{(2p)}</math> គេទាញបាន:

<math>\int_n^{n+1} f \left( t \right)  dt = \frac{f\left( n\right) +f\left( n+1\right) }{2}+\sum_{k=2}^{2p} \frac{\left( -1 \right)^{k-1} b_k}{k!} \left( f^{(k-1)}\left(n+1\right) - f^{(k-1)}\left(n\right) \right) + \frac{1}{(2p)!} \int_n^{n+1} f^{(2p)} \left( t\right) B_{2p} \left( t-n \right) dt </math>

ចុងបញ្ជប់តាមលក្ខណៈ : <math>\forall k \ge 1 , b_{2k+1} = 0 </math> គេទាញបាន :

<math>\int_n^{n+1} f \left( t \right)  dt = \frac{f\left( n\right) +f\left( n+1\right) }{2}+\sum_{k=2}^{\lfloor \frac{p}{2} \rfloor} \frac{b_{2k}}{(2k)!} \left( f^{(2k-1)}\left(n+1\right) - f^{(2k-1)}\left(n\right) \right) + \frac{1}{(2p)!} \int_n^{n+1} f^{(2p)} \left( t\right) B_{2p} \left( t-n \right) dt </math>

[[ចំនាត់ថ្នាក់ក្រុម:គណិតវិទ្យា]]