មើលកូដរបស់ រូបមន្តអយល័រ

[[ឯកសារ:Euler's formula.svg|right|thumb|<center>រូបមន្តអយល័រ <math>\mathrm e^{\mathrm i\varphi}=\cos\varphi+\mathrm i\sin\varphi</math></center>]]
'''រូបមន្តអយល័រ''' (Euler's formula) យកឈ្មោះតាមលោក [[លេអុនហាដ អយល័រ]] (Leonhard Euler) គឺជារូបមន្តគណិតវិទ្យាក្នុងការគណនាកុំផ្លិចដែលបង្ហាញទំនាក់ទំនងយ៉ាងជិតស្និតរវាង[[អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ]] និង [[អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល]]កុំផ្លិច។ 

រូបមន្តអយល័រពោលថាចំពោះគ្រប់[[ចំនួនពិត]] <math>\ x</math> គេបាន
: <math>\color{blue} e^{ix} = \cos x + i\;\sin x</math>

ដែល 
* <math>\ e</math> គឺជា[[គោលនៃលោការីតនេពែ]] ([[លោការីតធម្មជាតិ]])
* <math>\ i</math> គឺជា[[ឯកតានិម្មិត]] (ឬហៅថាចំនួននិម្មិត)
* <math>\ \sin</math> និង <math>\ \cos </math> គឺជា[[អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ]]

រូបមន្តអយល័រនៅតែពិតបើទោះបីជា <math>\ x</math> ជា[[ចំនួនកុំផ្លិច]]ក៏ដោយ។

== ប្រវត្តិ ==
រូបមន្តអយល័រត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់ដំបូងដោយ [[រ៉ូចឺ កូត្ស]] [[:en:Roger Cotes|Roger Cotes]] ក្នុងឆ្នាំ ១៧១៤ ជារាង

:<math> \ln(\cos x + i\sin x)=ix \ </math>

(ដែល ln តំណាងអោយ[[លោការីតនេពែ]] (ឬហៅម្យ៉ាងទៀតថាលោការីតធម្មជាតិ) មានន័យថាជា[[លោការីត]] log ដែលមានគោល e)

លោក[[អយល័រ]]ជាអ្នកបោះពុម្ពរូបមន្តជារាងបច្ចប្បន្ននេះនៅឆ្នាំ១៧៤៨ ដែលជាមូលដ្ឋានគ្រឹះសំរាប់សំរាយបញ្ជាក់របស់គាត់ចំពោះ[[ស៊េរីអនន្ត]]ពីរស្មើគ្នា។ អ្នកទាំងពីរមិនបានបង្ហាញតំណាង[[ធរណីមាត្រ]]នៃរូបមន្តទេៈ តំណាងនៃ[[ចំនួនកុំផ្លិច]]ជា[[ចំនុច]]នៅក្នុង[[ប្លង់កុំផ្លិច]]បានលេចឡើងនៅ៥០ឆ្នាំក្រោយមក។ លោក [[អយល័រ]]បានចាត់ទុកវាជាធម្មតាដើម្បីណែនាំទៅកាន់សិស្សរបស់គាត់អំពី[[ចំនួនកុំផ្លិច]]មានភាពស្រួលច្រើនជាងអ្វីដែលពួកយើងធ្វើសព្វថ្ងៃ។ នៅក្នុងសៀវភៅ'''ពិជគណិតថ្នាក់ដំបូង'''របស់គាត់ (elementary algebra text book) គាត់បានណែនាំអំពីចំនួនទាំងនេះយ៉ាងហោចណាស់ម្តង និងបានប្រើប្រាស់ពួកវាតាមរយៈវិធីសាស្រ្តធម្មតា។

== ការអនុវត្តក្នុងទ្រឹស្តីចំនួនកុំផ្លិច ==
[[ឯកសារ:Euler's formula.svg|thumb|right|<math>\ e^{ix}</math> គូសជា[[រង្វង់ត្រីកោណមាត្រ]]ក្នុង[[ប្លង់កុំផ្លិច]]]]
រូបមន្តនេះអាចត្រូវបានគេបកស្រាយដោយនិយាយថា [[អនុគមន៍]] <math>\ e^{ix}</math> គូសជា[[រង្វង់ត្រីកោណមាត្រ]]ក្នុង[[ប្លង់កុំផ្លិច]]ជា <math>\ x</math> [[រ៉ាដ្យង់]]តាមរយះ[[ចំនួនពិត]] ។ ទីនេះ <math>\ x</math> គឺជា[[មុំ]]ដែល[[បន្ទាត់]]មួយភ្ជាប់គល់តំរុយជាមួយ[[ចំនុច]]មួយនៅលើ[[រង្វង់ត្រីកោណមាត្រ]]បង្កើតជាមួយអ័ក្សពិតផ្នែកវិជ្ជមានតាមទិសដៅដូចទ្រនិចនាឡិកានិងគិតជា[[រ៉ាដ្យង់]]។

សំរាយបញ្ជាក់ដើមគឺពឹងផ្អែកទៅលើការពន្លាតជា[[ស៊េរីតេល័រ]]នៃ[[អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល]] <math>\ e^z</math> (ដែល <math>\ z</math> ជា[[ចំនួនកុំផ្លិច]]) និងការពន្លាតជា[[ស៊េរីតេល័រ]]នៃ[[អនុគមន៍ស៊ីនុស]] <math>\ \sin x</math> និង [[កូស៊ីនុស]] <math>\ \cos</math> ចំពោះ[[ចំនួនពិត]] <math>\ x</math> ។ តាមពិតសំរាយបញ្ជាក់ដូចគ្នាបង្ហាញថារូបមន្តអយល័រពិតផងដែរចំពោះគ្រប់[[ចំនួនកុំផ្លិច]] <math>\ z</math> ។

[[ចំនុច]]មួយនៅក្នុង[[ប្លង់កុំផ្លិច]]អាចត្រូវបានបង្ហាញជា[[ចំនួនកុំផ្លិច]]ដៅក្នុង[[ប្រព័ន្ធកូអរដោនេដេកាត]]។ រូបមន្តអយល័រផ្តល់នូវតំលៃមធ្យមនៃគំលាតរវាង[[កូអរដោនេដេកាត]] និង [[កូអរដោនេប៉ូលែរ]]។ ទំរង់ប៉ូលែរបន្ថយចំនួណតួពីពីរទៅមួយ ដែលសំរួលក្នុងគណិតវិទ្យានៅពេលដែលវាត្រូវបានគេប្រើប្រាស់ក្នុងប្រមាណវិធីគុណឬស្វ័យគុណនៃ[[ចំនួនកុំផ្លិច]]។ [[ចំនួនកុំផ្លិច]] <math>\ z = x + iy</math> អាចសរសេរជា
:<math> z = x + iy = |z| (\cos \theta+ i\sin \theta) = |z| e^{i \theta}= r e^{i \theta} \,</math>
:<math> \bar{z} = x - iy = |z| (\cos \theta- i\sin \theta) = |z| e^{-i \theta}= r e^{-i \theta} \,</math>

ដែល
:<math> x = \mathrm{Re}\{z\} \,</math> គឺជា[[ផ្នែកពិត]]
:<math> y = \mathrm{Im}\{z\} \,</math> គឺជា[[ផ្នែកនិម្មិត]]
:<math>|z| = r = \sqrt{x^2+y^2}</math> គឺជាម៉ូឌុលនៃចំនួនកុំផ្លិច
:<math>\ \bar{z}</math> ជា[[ចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់]]នៃ <math>\ z</math>
:<math>\theta= \arctan (\frac{y}{x})</math> គឺជាអាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិច

<math>\ \theta</math> គឺជាអាគុយម៉ងនៃចំនួនកុំផ្លិច មានន័យថាគឺជា[[មុំ]]រវាងអ័ក្សពិត <math>\ x</math> និង វ៉ិចទ័រ <math>\ z</math> វាស់ក្នុងទិសដៅស្របនឹងទ្រនិចនាឡិកានិងគិតជា[[រ៉ាដ្យង់]]។

យើងអាចប្រើរូបមន្តអយល័រដើម្បីកំនត់[[លោការីត]]នៃ[[ចំនួនកុំផ្លិច]]មួយ។ យើងក៏អាចប្រើនិយមន័យនៃ[[លោការីត]] (ជាឆ្លាស់នៃ[[អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល]]) ដែល
:<math>a = e^{\ln (a)}\,</math>

និង

:<math>e^a  e^b = e^{a + b}\,</math>

ទំនាក់ទំនងទាំងពីរពិតចំពោះគ្រប់[[ចំនួនកុំផ្លិច]] a និង b ។ ហេតុនេះយើងអាចសរសេរ
:<math> z = |z| e^{i \theta} = e^{\ln |z|} e^{i \theta} = e^{\ln |z| + i \theta}\,</math>

ចំពោះ <math>z\ne 0</math> ។ បំលាក់[[លោការីត]]លើអង្គទាំងសងខាង យើងបាន
: <math>\ln z= \ln |z| + i \theta \,</math>

តាមពិតទំនាក់ទំនងនេះអាចត្រូវបានគេប្រើដើម្បីកំនត់និយមន័យសំរាប់[[កុំផ្លិចលោការីត]]។ លោការីតនៃចំនួនកុំផ្លចមួយគឺជា[[អនុគមន៍មានពហុតំលៃ]] ពីព្រោះ <math>\theta \,</math> មានពហុតំលៃ (មានតំលៃច្រើន) ។

ចុងក្រោយ រូបមន្តអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល
: <math>(e^a)^k = e^{a k} \,</math>

ផ្ទៀងផ្ទាត់ចំពោះគ្រប់[[ចំនួនគត់]] <math>\ k</math> រួមជាមួយរូបមន្តអយល័រ ដែលជាប់ទាក់ទងផងដែរនូវរូបមន្តត្រីកោណមាត្រ និង [[រូបមន្តដឺម័រ]]។

== ទំនាក់ទំនងចំពោះត្រីកោណមាត្រ ==
: <math>\cos x = \mathrm{Re}\{e^{ix}\} ={e^{ix} + e^{-ix} \over 2}</math> 
: <math>\sin x = \mathrm{Im}\{e^{ix}\} ={e^{ix} - e^{-ix} \over 2i}</math>

សមីការទាំងពីរខាងលើអាចទាញបានដោយការបូកឬដករូបមន្តអយល័រ៖

: <math>e^{ix} = \cos x + i \sin x \;</math> 
: <math>e^{-ix} = \cos(- x) + i \sin(- x)  = \cos x - i \sin x \;</math>

រូបមន្តទាំងនេះផ្តល់និយមន័យអោយ[[អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ]]ចំពោះអាគុយម៉ង់ <math>\ x</math> នៃ[[ចំនួនកុំផ្លិច]] ។ 

ឧទាហរណ៍៖ តាង <math>\ x = iy</math> គេបាន
:<math> \cos(iy) =  {e^{-y} + e^{y} \over 2} = \cosh(y) </math>
:<math> \sin(iy) =  {e^{-y} - e^{y} \over 2i} = -i\sinh(y) </math>

អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលកុំផ្លិចអាចសំរួលជា[[ត្រីកោណមាត្រ]] ពីព្រោះវាងាយស្រួលសំរួលជាងស៊ីនុយសូអ៊ីត។ គេអាចបំលែងស៊ីនុយសូអ៊ីតជាកន្សោមអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។ ឧទាហរណ៍៖

: <math>
\begin{align}
\cos x\cdot \cos y & = \frac{(e^{ix}+e^{-ix})}{2} \cdot \frac{(e^{iy}+e^{-iy})}{2} \\
& = \frac{e^{i(x+y)}+e^{i(x-y)}+e^{i(-x+y)}+e^{i(-x-y)}}{4} \\
& = \frac{e^{i(x+y)}+e^{i(-x-y)}}{4}+\frac{e^{i(x-y)}+e^{i(-x+y)}}{4} \\
& = \frac{\cos(x+y)}{2} + \frac{\cos(x-y)}{2}
\end{align}
</math>

គេអាចបំលែងស៊ីនុយសូអ៊ីតជា[[ផ្នែកពិត]]នៃកន្សោម[[ចំនួនកុំផ្លិច]] និង សរសេរជាកន្សោមនៃ[[ចំនួនកុំផ្លិច]]។ ឧទាហរណ៍៖
: <math>
\begin{align}
\cos(nx)+\cos((n-2)x) & = \mathrm{Re} \{\quad e^{inx}+e^{i(n-2)x}\quad \} \\
& = \mathrm{Re} \{\quad e^{i(n-1)x}\cdot (e^{ix}+e^{-ix})\quad \} \\
& = \mathrm{Re} \{\quad e^{i(n-1)x}\cdot 2\cos x\quad \} \\
& = 2\cos((n-1)x)\cos x
\end{align}</math>

រូបមន្តនេះត្រូវបានគេប្រើប្រាស់ដើម្បីបង្កើតរបត់ស៊ីនុយសូអ៊ីតនៅចន្លោះ x [[រ៉ាដ្យង់]]។

== សំរាយបញ្ជាក់ ==
=== សំរាយបញ្ជាក់ដោយប្រើ[[ស៊េរីតេល័រ]] ===
ការពន្លាតជា[[ស៊េរី]]នៃ[[អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល]]ដែលមានអថេរជាចំនួនពិត x អាចសរសេរ

: <math> e^x = \frac{x^0}{0!} + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + ... 
           = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} </math>

និងអាចបន្លាយដល់[[ចំនួនកុំផ្លិច]] x ។

ពន្លាតជាស៊េរីតេល័រចំពោះ[[អនុគមន៍ស៊ីនុស]] និង [[កូស៊ីនុស]]គឺ
:<math>\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0}{\frac{(-1)^n}{(2n)!}}x^{2n}</math>
:<math>\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}</math>


ដើម្បីសំរួលសមីការនេះ យើងប្រើលក្ខណៈគ្រឹះខាងក្រោម
: <math>
  i^0 = 1, \qquad
  i^1 = i, \qquad
  i^2 = -1, \qquad
  i^3 = -i, \qquad
  i^4 = 1, \ldots
</math>

ជាទូទៅចំពោះគ្រប់អិចស្ប៉ូសង់ជាចំនួនគត់ n គេបាន
: <math>
  i^{\,4n} = 1, \qquad
  i^{\,4n+1} = i, \qquad
  i^{\,4n+2} = -1, \qquad
  i^{\,4n+3} = -i
</math>

ចំពោះចំនួនកុំផ្លិច z យើងកំនត់អនុគមន៍និមួយៗទាំងនេះដោយស៊េរីខាងលើ ជំនួសអថេរពិត x ដោយអថេរកុំផ្លិច z ។ យើងបាន

: <math>\begin{align}
 e^{iz} &{}= 1 + iz + \frac{(iz)^2}{2!} + \frac{(iz)^3}{3!} + \frac{(iz)^4}{4!} + \frac{(iz)^5}{5!} + \frac{(iz)^6}{6!} + \frac{(iz)^7}{7!} + \frac{(iz)^8}{8!} + \cdots \\
        &{}= 1 + iz - \frac{z^2}{2!} - \frac{iz^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + \frac{iz^5}{5!} - \frac{z^6}{6!} - \frac{iz^7}{7!} + \frac{z^8}{8!} + \cdots \\
        &{}= \left( 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \frac{z^6}{6!} + \frac{z^8}{8!} - \cdots \right) + i\left( z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \cdots \right) \\
        &{}= \cos z + i\sin z
\end{align}</math>

ដូចនេះគេបានរូបមន្តអយល័រ ដូចដែលបានពោល៖
: <math>\color{blue} e^{ix} = \cos x + i\;\sin x</math>

=== សំរាយបញ្ជាក់ដោយប្រើ[[ដេរីវេ]] ===
គេមានអនុគមន៍ <math>\ f</math> (អាចជាអនុគមន៍ចំនួនកុំផ្លិច) នៃអថេរ x កំនត់ដោយ
: <math>f(x) = \frac{\cos x+i\sin x}{e^{ix}} \ </math>

ដោយយោងតាមរូបមន្តផលគុណ និង ផលចែកនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ <math>\ f(x) </math> គេបានដេរីវេនៃអនុគមន៍ <math>\ f(x) </math> កំនត់ដោយ
:
<math>\begin{align}
f'(x) 
&= \displaystyle\frac{(-\sin x+i\cos x)\cdot e^{ix} - (\cos x+i\sin x)\cdot i\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^2} \\
&= \displaystyle\frac{-\sin x\cdot e^{ix}-i^2\sin x\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^2} \\
&= \displaystyle\frac{-\sin x-i^2\sin x}{e^{ix}} \\
&= \displaystyle\frac{-\sin x-(-1)\sin x}{e^{ix}} \\
&= \displaystyle\frac{-\sin x+\sin x}{e^{ix}} \\
&= 0 
\end{align}</math>

ហេតុនេះ <math>\ f</math> ជា[[អនុគមន៍ថេរ]]។ គេបាន
:<math>f(x)=f(0)=\frac{\cos 0 + i \sin 0}{e^0}=1</math>
:<math>\Rightarrow  \frac{\cos x + i \sin x}{e^{ix}}=1</math>

ដូចនេះ
: <math>\color{blue} e^{ix} = \cos x + i\;\sin x</math>

=== សំរាយបញ្ជាក់ដោយប្រើ[[សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល]]បែបងាយ ===
តាងអនុគមន៍  <math>f(x)=\cos x+i\sin x \,\!</math>

យើងបាន

: <math>f'(x)=-\sin x+i\cos x=i\cdot \left( i\sin x+\cos x \right)</math>
: <math>f'(x)=i\cdot f(x)</math>
: <math>\frac{f'(x)}{f(x)}=i</math>
: <math>\int{\frac{f'(x)}{f(x)}dx}=\int{i\cdot dx}</math>
: <math>\ln \left( f(x) \right)=ix+c</math>
: <math>f(x)={e}^{ix+c} \,\!</math>

:: នោះ <math>{{e}^{ix+c}}=\cos x+i\sin x \,\!</math>

: រកតម្លៃ <math>c \,\!</math> ដោយយក <math>x=0 \,\!</math>

:: នាំឲ្យ <math>{{e}^{c}}=\cos 0+i\sin 0=1 \,\!</math>
::: <math>\Rightarrow c=0</math>
ដូចនេះ
::: <math>{{e}^{ix}}=\cos x+i\sin x \,\!</math> ។

=== សំរាយបញ្ជាក់ដោយប្រើ[[សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល]]បែបម្យ៉ាងទៀត ===
គេមានអនុគមន៍ <math>\ g(x) </math> ដែល
: <math>\ g(x) = e^{ix}</math>

ដោយចាត់ទុក <math>\ i</math> គឺជា[[ចំនួនថេរ]] ដេរីវេទី១ និង ទី២ នៃ <math>\ g(x)</math> គឺ
: <math>g'(x) = i e^{ix} \ </math>
: <math>g''(x) = i^2 e^{ix} = -e^{ix} \ </math> (ពីព្រោះ <math>\ i^2 = -1</math>)
ចេញពីទំនាក់ទំនងនេះគេអាចបង្កើត[[សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនែអ៊ែរ]]លំដាប់២
: <math>g''(x) = -g(x) \ </math>
ឬ
: <math>g''(x) + g(x) = 0 \ </math>

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរលំដាប់២ មានចំលើយឯករាជ្យលីនេអ៊ែរចំនួនពីរដែលផ្ទៀងផ្ទាត់វា៖
: <math>g_1(x) = \cos x \ </math>
: <math>g_2(x) = \sin x \ </math>

ទាំង <math>\ \cos</math> និង <math>\ \sin</math> គឺជាអនុគមន៍ពិតដែល[[ដេរីវេ]]ទី២គឺមានសញ្ញាអវិជ្ជមាននៃអនុគមន៍ខ្លួនវា។ [[បន្សំលីនេអ៊ែរ]]នៃចំលើយចំពោះ[[សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលអូម៉ូសែន]]ក៏ជាចំលើយមួយផងដែរ។ ចំលើយទូទៅនៃសមីការគឺ
:<math>\begin{align} g(x) &= A g_1(x) + B g_2(x) \\ &= A \cos x + B \sin x \ \end{align}</math>

ដែល A និង B គឺជា[[ចំនួនថេរ]]។ ប៉ុន្តែមិនមែនគ្រប់តំលៃទាំងអស់នៃចំនួនថេរទាំងពីរនេះសុទ្ធតែផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌដើមដែលគេស្គាល់ចំពោះ <math>\ g(x) </math> ទេ៖
: <math>g(0) = e^{i0} = 1 \ </math>
: <math>g'(0) = i e^{i0} = i \ </math>

តំលៃនៃលក្ខខណ្ឌដើមជំនួសក្នុងចំលើយទូទៅ

: <math>g(0) = A \cos 0 + B \sin 0 = A \ </math>
: <math>g'(0) = -A \sin 0 + B \cos 0 = B \ </math>

គេបាន

: <math>g(0) = A = 1 \ </math>
: <math>g'(0) = B = i \ </math>

និងចុងក្រោយ

: <math>g(x) = e^{ix} = \cos x + i \sin x \ </math>

គឺជារូបមន្តអយល័រ។





[[ចំនាត់ថ្នាក់ក្រុម:ត្រីកោណមាត្រ]]
[[ចំនាត់ថ្នាក់ក្រុម:ទ្រឹស្តីបទគណិតវិទ្យា]]
[[ចំនាត់ថ្នាក់ក្រុម:ចំនួនកុំផ្លិច]]
[[ចំនាត់ថ្នាក់ក្រុម:គណិតវិទ្យា]]