មើលកូដរបស់ ដេរីវេនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ

{|class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF" align="right" hspace="3"
! អនុគមន៍
! ដេរីវេ
|-
| <math>\sin(x)</math>
| <math>\cos(x)</math>
|-
|<math>\cos(x)</math>
|<math>-\sin(x)</math>
|-
|<math>\tan(x)</math>
|<math>\sec^2(x)</math>
|-
|<math>\cot(x)</math>
|<math>-\csc^2(x)</math>
|-
|<math>\sec(x)</math>
|<math>\sec(x)\tan(x)</math>
|-
|<math>\csc(x)</math>
|<math>-\csc(x)\cot(x)</math>
|-
|<math>\arcsin(x)</math>
|<math>\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math>
|-
|<math>\arccos(x)</math>
|<math>\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}</math>
|-
|<math>\arctan(x)</math>
|<math>\frac{1}{x^2+1}</math>
|}
'''ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ'''គឺជាវិធីសាស្ត្រគណិតវិទ្យាមួយក្នុងស្វែងរកអត្រាដែល[[អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ]]មួយធ្វើការផ្លាស់ប្តូរដោយគោរពតាមអថេរ។ វាក៏ត្រូវបានគេហៅម្យ៉ាងទៀតថាជា'''ដេរីវេនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ'''។ អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រធម្មតាទូទៅរួមមាន <math>\sin (x) , \cos (x) \,</math> និង&nbsp; <math>\tan (x) \,</math>។ 

ឧទាហរណ៍៖ ក្នុងគណនា <math>f'(x) \,</math> ដោយធ្វើដេរីរេនៃអនុគមន៍ <math>f(x) = \sin (x) \,</math> ដែលជាការគណនាអត្រាបំលាស់ប្តូរនៃអនុគមន៍ <math>\sin (x) \,</math> នៅត្រង់ចំនុច a មួយ។ តំលៃនៃអត្រានៅត្រង់ចំនុច a គឺផ្តល់អោយដោយ <math>f'(a) \,</math> ។ ការយល់ដឹងអំពីឌីផេរ៉ង់ស្យែលពីគោលការណ៍បឋមគឺជាការចាំបាច់ ជាមួយនឹងការប្រើប្រាស់[[លក្ខណៈត្រីកោណមាត្រ]] និង[[លីមីត]]។ គ្រប់អនុគមន៍ទាំងអស់គឺជាប់ទាក់ទងនឹងតំលៃ arbitrary នៃ x ជាមួយនឹងគ្រប់ឌីផេរ៉ង់ស្យែលសំដែងដោយគោរពតាម x ។ 

== ដេរីវេនៃ sin(''x''), cos(''x''), tan(''x''), cot(''x''), sec(''x'') and csc(''x'') និងអនុគមន៍ច្រាស់របស់វា==

:<math>f(x)=\sin(x) \implies f'(x)=\cos(x)</math>
:<math>f(x)=\cos(x) \implies f'(x)=-\sin(x)</math>
:<math>f(x)=\tan(x) \implies f'(x) = (\tan(x))' = \left(\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)' = \frac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)} = 1+\tan^2(x) = \sec^2(x)</math>
:<math>f(x)=\cot(x) \implies f'(x) = (\cot(x))' = \left(\frac{\cos(x)}{\sin(x)}\right)' = \frac{-\sin^2(x) - \cos^2(x)}{\sin^2(x)} = -(1+\cot^2(x)) = -\csc^2(x)</math>
:<math>f(x)=\sec(x) \implies f'(x) = (\sec(x))' = \left(\frac{1}{\cos(x)}\right)' = \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)} = \frac{1}{\cos(x)}.\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \sec(x)\tan(x)</math>
:<math>f(x)=\csc(x) \implies f'(x) = (\csc(x))' = \left(\frac{1}{\sin(x)}\right)' = -\frac{\cos(x)}{\sin^2(x)} = -\frac{1}{\sin(x)}.\frac{\cos(x)}{\sin(x)} = -\csc(x)\cot(x)</math>
:<math>f(x)=\arcsin(x) \implies f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math>
:<math>f(x)=\arccos(x) \implies f'(x)=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}</math>
:<math>f(x)=\arctan(x) \implies f'(x)=\frac{1}{x^2+1}</math>

== សំរាយបញ្ជាក់នៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ស៊ីនុស និងកូសីនុស==
=== ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍ស៊ីនុស ===

តាមនិយមន័យដេរីរេនៃ ''f''(''x'') គេបាន៖

:<math>f'(x)=\lim_{h\to 0}{f(x+h)-f(x)\over h}</math>

ហេតុនេះបើ ''f''(''x'') = sin(''x'') គេបាន

:<math>f'(x)=\lim_{h\to 0}{\sin(x+h)-\sin(x)\over h}</math>

ប្រើលក្ខណៈត្រីកោណមាត្រ គេបាន

: <math>\sin(A+B)=\sin(A)\cos(B)+\cos(A)\sin(B) \,</math> យើងអាចថា

:<math>f'(x)=\lim_{h\to 0}{\sin(x)\cos(h)+\cos(x)\sin(h)-\sin(x)\over h}</math>

ផ្តុំតួ cos(''x'') និង sin(''x'') នោះគេបានដេរីវេក្លាយជា

:<math>f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x)\sin(h)-\sin(x)(1-\cos(h))\over h}</math>

រៀបឡើងវិញនូវតួនិមួយៗ និងធ្វើលីមីត គេបាន

:<math>f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x)\sin(h)\over h} - \lim_{h\to 0}{\sin(x)(1-\cos(h))\over h}</math>

ដោយសារ sin(''x'') និង cos(''x'') មិនខុសគ្នានឹង ''h'' 

:<math>f'(x)=\cos(x)\lim_{h\to 0}{\sin(h)\over h} - \sin(x)\lim_{h\to 0}{1-\cos(h)\over h}</math>

តំលៃនៃ[[លីមីត]]

:<math>\lim_{h\to 0}{\sin(h)\over h} \quad </math> &nbsp;និង &nbsp;<math>\quad \lim_{h\to 0}{1-\cos(h)\over h}</math>

គឺស្មើ ១ និង ០ ។ ដូច្នេះបើ ''f''(''x'') = sin(''x'') គេបាន

:<math>f'(x)=\cos(x) \,</math>

=== ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍កូស៊ីនុស ===

តាមនិយមន័យដេរីវេនៃអនុគមន៍ ''f''(''x'') គេបាន៖

:<math>f'(x)=\lim_{h\to 0}{f(x+h)-f(x)\over h}</math>

ហេតុនេះបើ ''f''(''x'') = cos(''x'') គេបាន

:<math>f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x+h)-\cos(x)\over h}</math>

យោងតាមលក្ខណៈត្រីកោណមាត្រ

: <math>\cos(A+B)=\cos(A)\cos(B)-\sin(A)\sin(B) \,</math> យើងបាន

:<math>f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x)\cos(h)-\sin(x)\sin(h)-\cos(x)\over h}</math>

ផ្តុំតួ sin(''x'') និង cos(''x'')  នោះគេបានដេរីវេក្លាយជា

:<math>f'(x)=\lim_{h\to 0}{-\sin(x)\sin(h)-\cos(x)(1-\cos(h))\over h}</math>

រៀបឡើងវិញនូវតួនិមួយៗ និងធ្វើលីមីត គេបាន

:<math>f'(x)=-\lim_{h\to 0}{\sin(x)\sin(h)\over h} - \lim_{h\to 0}{\cos(x)(1-\cos(h))\over h}</math>

ដោយសារតែ sin(''x'') និង cos(''x'') មិនខុសពី ''h'' គេបាន

:<math>f'(x)=-\sin(x)\lim_{h\to 0}{\sin(h)\over h} - \cos(x)\lim_{h\to 0}{1-\cos(h)\over h}</math>

តំលៃនៃលីមីត

:<math>\lim_{h\to 0}{\sin(h)\over h} \quad</math> &nbsp;និង &nbsp;<math>\quad \lim_{h\to 0}{1-\cos(h)\over h}</math>

គឺស្មើនឹង ១ និង ០ ។ ហេតុនេះបើ ''f''(''x'') = cos(''x'') គេបាន

:<math>f'(x)=-\sin(x) \,</math>
== សំរាយបញ្ជាក់ដេរីវេនៃអនុគមន៍តង់សង់ ==

យើងមាន

:<math>f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}</math>

តាង <math>f(x) = \tan (x)  , g(x) = \sin (x) \,</math> និង <math>h(x) = \cos (x) \,</math>

ចំពោះ <math>h(x) \ne 0 \,</math> នោះបានដេរីវេនៃ<math>f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}</math> កំនត់ដោយ

:<math>\frac{d}{dx}f(x) = f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2}</math>

យោងតាមសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រនៃអនុគមន៍តង់សង់

:<math>\tan(x) = {sin(x)\over\cos(x)}</math>

ដោយ

:ដេរីវេនៃ <math>g(x)=\sin(x) \,</math> គឺ <math>g'(x)=\cos(x) \,</math>
:ដេរីវេនៃ <math>h(x)=\cos(x) \,</math> គឺ <math>h'(x)=-\sin(x) \,</math>

ដោយជំនួសតំលៃនៃដេរីវេ គេបាន

:<math>f'(x) = \frac{\cos(x)\cos(x) - \sin(x)[-\sin(x)]}{\cos^2(x)}</math>

បន្ទាប់ពីធ្វើប្រមាណរួចគេបាន

: <math>f'(x) = \frac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)}</math>

ដោយអនុវត្តន៍សញ្ញាណនៃត្រីកោណមាត្រខាងក្រោម

: <math>\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 \,</math> &nbsp;&nbsp;និង &nbsp;<math>\sec(x)=\frac{1}{cos(x)}</math>

គេបាន

: <math>f'(x)= \frac{1}{\cos^2(x)}=\sec^2(x)</math>

== សំរាយបញ្ជាក់ដេរីវេនៃអនុគមន៍ច្រាស់ត្រីកោណមាត្រ ==
=== ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍ស៊ីនុសច្រាស់ (អាកស៊ីនុស)===
យើងតាង 
:<math>y=\arcsin x \,</math>
ដោយប្រើឌីផេរ៉រង់ស្យែលអ៊ីមផ្លីស៊ីត (implicit differentiation) ចំពោះ dy/dx គេបាន៖
:<math>{d \over dx}\sin y={d \over dx}x</math>

:<math>{dy \over dx}\cos y=1</math>

:<math>{dy \over dx}=\frac{1}{\cos y}</math>

ដោយជំនួស y ក្នុងទំរង់ខាងលើ យើងបាន
:<math>{dy \over dx}=\frac{1}{\cos (\arcsin x)}</math>

ដោយប្រើ[[រូបមន្តត្រីកោណមាត្រ]] និង[[ទ្រឹស្តីបទពីតាករ]] យើងបាន
:<math>{dy \over dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math>

ដូច្នេះ បើ ''f''(''x'') = arcsin(''x'') យើងបាន

:<math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math>

=== ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍កូស៊ីនុសច្រាស់ (អាកកូស៊ីនុស)===
យើងតាង
:<math>y=\arccos x \,</math> 

នោះគេបាន
:<math>\cos y=x \,</math> 

ដោយប្រើឌីផេរ៉រង់ស្យែលអ៊ីមផ្លីស៊ីត (implicit differentiation) ចំពោះ dy/dx គេបាន៖

:<math>{d \over dx}\cos y={d \over dx}x</math>

:<math>-{dy \over dx}\sin y=1</math>

:<math>{dy \over dx}=\frac{-1}{\sin y}</math>

ដោយជំនួស y ក្នុងទំរង់ខាងលើ យើងបាន

:<math>{dy \over dx}=\frac{-1}{\sin (\arccos x)}</math>

ដោយប្រើ[[រូបមន្តត្រីកោណមាត្រ]] និង[[ទ្រឹស្តីបទពីតាករ]] យើងបាន

:<math>{dy \over dx}=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}</math>

ដូច្នេះ បើ ''f''(''x'') = arccos(''x'') យើងបាន


:<math>f'(x)=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}</math>

=== ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍តង់សង់ច្រាស់ (អាកតង់សង់)===
យើងតាង

:<math>y=\arctan x \,</math>

នោះយើងបាន

:<math>\tan y=x</math>


ដោយប្រើឌីផេរ៉រង់ស្យែលអ៊ីមផ្លីស៊ីត (implicit differentiation) ចំពោះ dy/dx យើងបាន៖

:<math>{d \over dx}\tan y={d \over dx}x</math>

:<math>{dy \over dx}\sec^2 y=1</math>

:<math>{dy \over dx}=\frac{1}{\sec^2 y}</math>

ដោយជំនួស y ក្នុងទំរង់ខាងលើ តើងបាន

:<math>{dy \over dx}=\frac{1}{\sec^2 (\arctan x)}</math>

ដោយប្រើ[[រូបមន្តត្រីកោណមាត្រ]] និង[[ទ្រឹស្តីបទពីតាករ]] យើងបាន

:<math>{dy \over dx}=\frac{1}{\left(\sqrt{x^2+1}\right)^2}</math>

:<math>{dy \over dx}=\frac{1}{x^2+1}</math>

ដូច្នេះ បើ ''f''(''x'') = arctan(''x'')

:<math>f'(x)=\frac{1}{x^2+1}</math>


វាមានភាពងាយស្រួលជាងដើម្បីទាញបានទំនាក់ទំនង៖ <math>tan(arctan(x))=x \,</math>

ចូរស្វែងយល់អំពីដេរីវេនៃ <math>\tan (x) \,</math> គឺ <math>1+tan^2(x) \,</math> ។
== សូមមើលផងដែរ ==
* [[ដេរីវេ]] 
* [[ត្រីកោណមាត្រ]]
* [[តារាងដេរីវេ]]

[[ចំណាត់ថ្នាក់ក្រុម:គណិតវិទ្យា]]
[[ចំណាត់ថ្នាក់ក្រុម:ដេរីវេ]]