រូបមន្តត្រីកោណមាត្រត្រង់ kπ/7

តំលៃប្រហែល

យើងមានតំលៃប្រហែល

$cos(\frac{\pi }{7})\simeq 0,9009688...\simeq \frac{9}{10}$

តំលៃនេះអាចអោយយើងសង់បន្ទាត់ និង កំប៉ានៃមុំ ដែលមានរង្វាស់ជិតស្មើនឹង $\frac{\pi }{7}$ ។

យើងគូសអង្កត់ $[AB]$ និង ចំនុច P មួយដែល

$AP=\frac{9}{10}AB$

គេមានចំនុច C មួយជាចំនុចប្រសព្វរវាងរង្វង់​ផ្ចិត A កាំ AB ជាមួយនឹងបន្ទាត់កែង AB ត្រង់ P ។

ហេតុនេះមុំ $\widehat{BAC}$ មានរង្វាស់ប្រហែលនឹង $\frac{\pi }{7}$ ។

ដំណោះស្រាយសមីការមួយចំនួន

• សមីការ​៖

$X^3-X^2-2X+1=0$

មានឫស៖

$\{2\cos (\frac{\pi }{7}),-2\cos (\frac{2\pi }{7}),2\cos (\frac{3\pi }{7})\}$

• សមីការ៖

$X^3+X^2-2X-1=0$

មានឫស៖

$\{-2\cos (\frac{\pi }{7}),2\cos (\frac{2\pi }{7}),-2\cos (\frac{3\pi }{7})\}$

• សមីការ៖

$X^3+\sqrt{7}{X}^2-\sqrt{7}=0$

មានឫស៖ $\{2\sin (\frac{\pi }{7}),-2\sin (\frac{2\pi }{7}),-2\sin (\frac{3\pi }{7})\}$

• សមីការ៖

$X^3-\sqrt{7}{X}^2+\sqrt{7}=0$

a pour racines :

$\{-2\sin (\frac{\pi }{7}),2\sin (\frac{2\pi }{7}),2\sin (\frac{3\pi }{7})\}$

• សមីការ៖

$X^3+\sqrt{7}{X}^2-7X+\sqrt{7}=0$

មានឫស៖

$\{\tan (\frac{\pi }{7}),\tan (\frac{2\pi }{7}),-\tan (\frac{3\pi }{7})\}$

• សមីការ៖

$X^3-\sqrt{7}{X}^2-7X-\sqrt{7}=0$

មានឫស៖

$\{-\tan (\frac{\pi }{7}),-\tan (\frac{2\pi }{7}),\tan (\frac{3\pi }{7})\}$

រូបមន្តអូម៉ូសែន

$\cos (\frac{\pi }{7})-\cos (\frac{2\pi }{7})+\cos (\frac{3\pi }{7})=\frac{1}{2}$

$\cos (\frac{\pi }{7}).\cos (\frac{2\pi }{7}).\cos (\frac{3\pi }{7})=-\frac{1}{8}$

$\cos (\frac{\pi }{7}).\cos (\frac{2\pi }{7})-\cos (\frac{\pi }{7}).\cos (\frac{3\pi }{7})+\cos (\frac{2\pi }{7}).\cos (\frac{3\pi }{7})=-\frac{1}{2}$

$\sin (\frac{\pi }{7})-\sin (\frac{2\pi }{7})-\sin (\frac{3\pi }{7})=-\frac{\sqrt{7}}{2}$

$\sin (\frac{\pi }{7}).\sin (\frac{2\pi }{7}).\sin (\frac{3\pi }{7})=\frac{\sqrt{7}}{8}$

$\sin (\frac{\pi }{7}).\sin (\frac{2\pi }{7})+\sin (\frac{\pi }{7}).\sin (\frac{3\pi }{7})-\sin (\frac{2\pi }{7}).\sin (\frac{3\pi }{7})=0$

$\tan (\frac{\pi }{7})+\tan (\frac{2\pi }{7})-\tan (\frac{3\pi }{7})=-\sqrt{7}$

$\tan (\frac{\pi }{7}).\tan (\frac{2\pi }{7}).\tan (\frac{3\pi }{7})=\sqrt{7}$

$\tan (\frac{\pi }{7}).\tan (\frac{2\pi }{7})-\tan (\frac{\pi }{7}).\tan (\frac{3\pi }{7})-\tan (\frac{2\pi }{7}).\tan (\frac{3\pi }{7})=-7$

រូបមន្តលីនែអ៊ែរ

$\cos (\frac{\pi }{7})\cos (\frac{2\pi }{7})=\frac{1}{2}\cos (\frac{2\pi }{7})+\frac{1}{4}$

$\cos (\frac{\pi }{7})\cos (\frac{3\pi }{7})=\frac{1}{2}\cos (\frac{\pi }{7})-\frac{1}{4}$

$\cos (\frac{2\pi }{7})\cos (\frac{3\pi }{7})=-\frac{1}{2}\cos (\frac{3\pi }{7})+\frac{1}{4}$

${\cos }^2(\frac{\pi }{7})=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos (\frac{2\pi }{7})$

${\cos }^2(\frac{2\pi }{7})=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos (\frac{3\pi }{7})$

${\cos }^2(\frac{3\pi }{7})=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos (\frac{\pi }{7})$

រូបមន្តបន្ថយ

ចំពោះតំលៃផ្សេងៗនៃ k ក្នុង kπ/7 គេអាចត្រលប់ទៅរូបមន្តមុន

$\cos (\frac{4\pi }{7})=-\cos (\frac{3\pi }{7})$

$\cos (\frac{5\pi }{7})=-\cos (\frac{2\pi }{7})$

$\cos (\frac{6\pi }{7})=-\cos (\frac{\pi }{7})$

$\sin (\frac{4\pi }{7})=\sin (\frac{3\pi }{7})$

$\sin (\frac{5\pi }{7})=\sin (\frac{2\pi }{7})$

$\sin (\frac{6\pi }{7})=\sin (\frac{\pi }{7})$

$\tan (\frac{4\pi }{7})=-\tan (\frac{3\pi }{7})$

$\tan (\frac{5\pi }{7})=-\tan (\frac{2\pi }{7})$

$\tan (\frac{6\pi }{7})=-\tan (\frac{\pi }{7})$

លក្ខណៈគួរកត់សំគាល់

យើងមាន

$\mathrm{\forall }k\in \mathbb{Z},2^k({\cos }^k(\frac{\pi }{7})+{\cos }^k(\frac{3\pi }{7})+{\cos }^k(\frac{5\pi }{7}))\in {\mathbb{N}}^{*}$

• ចំពោះតំលៃដំបូងនៃ k វិជ្ជមាន គេទទួលបាន

$2(\cos (\frac{\pi }{7})+\cos (\frac{3\pi }{7})+\cos (\frac{5\pi }{7}))=1$

$2^2({\cos }^2(\frac{\pi }{7})+{\cos }^2(\frac{3\pi }{7})+{\cos }^2(\frac{5\pi }{7}))=5$

$2^3({\cos }^3(\frac{\pi }{7})+{\cos }^3(\frac{3\pi }{7})+{\cos }^3(\frac{5\pi }{7}))=4$

$2^4({\cos }^4(\frac{\pi }{7})+{\cos }^4(\frac{3\pi }{7})+{\cos }^4(\frac{5\pi }{7}))=13$

$2^5({\cos }^5(\frac{\pi }{7})+{\cos }^5(\frac{3\pi }{7})+{\cos }^5(\frac{5\pi }{7}))=16$

$2^6({\cos }^6(\frac{\pi }{7})+{\cos }^6(\frac{3\pi }{7})+{\cos }^6(\frac{5\pi }{7}))=38$

$2^7({\cos }^7(\frac{\pi }{7})+{\cos }^7(\frac{3\pi }{7})+{\cos }^7(\frac{5\pi }{7}))=57$

។ល។

• ចំពោះតំលៃដំបូងនៃ k អវិជ្ជមាន គេទទួលបាន

$\frac{1}{2}(\frac{1}{\cos (\frac{\pi }{7})}+\frac{1}{\cos (\frac{3\pi }{7})}+\frac{1}{\cos (\frac{5\pi }{7})})=2$

$\frac{1}{2^2}(\frac{1}{{\cos }^2(\frac{\pi }{7})}+\frac{1}{{\cos }^2(\frac{3\pi }{7})}+\frac{1}{{\cos }^2(\frac{5\pi }{7})})=6$

$\frac{1}{2^3}(\frac{1}{{\cos }^3(\frac{\pi }{7})}+\frac{1}{{\cos }^3(\frac{3\pi }{7})}+\frac{1}{{\cos }^3(\frac{5\pi }{7})})=11$

$\frac{1}{2^4}(\frac{1}{{\cos }^4(\frac{\pi }{7})}+\frac{1}{{\cos }^4(\frac{3\pi }{7})}+\frac{1}{{\cos }^4(\frac{5\pi }{7})})=26$

$\frac{1}{2^5}(\frac{1}{{\cos }^5(\frac{\pi }{7})}+\frac{1}{{\cos }^5(\frac{3\pi }{7})}+\frac{1}{{\cos }^5(\frac{5\pi }{7})})=57$

។ល។