ឧទាហរណ៍នៃការគណនាដេរីវេ

ដេរីវេនៃអនុគមន៍ថេរ

គេមានចំនួនពិតថេរ C ។ សន្មតអនុគមន៍ថេរ f មានតំលៃស្មើ C គេបាន៖

$\mathrm{\forall }x\in ℝ,\mathrm{\forall }h\in {ℝ}^{\mathbb{*}},\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{C-C}{h}=0$

ដូច្នេះ

$\mathrm{\forall }x\in ℝ,f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=0$ ។

ដេរីវេនៃអនុគមន៍ចំនួនថេរគឺស្មើសូន្យ។

ឧទាហរណ៍៖គណនាដេរីនៃ f(x) = 25 ។

$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-25}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(25-25)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{0}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }0=0$

ដេរីវេនៃអនុគមន៍ដឺក្រេទី១

គេមានក្រាបនៃអនុគមន៍ f(x) = 5x - 1 ។ គណនាមេគុណប្រាប់ទិសនៃក្រាប f(x) ត្រង់ចំនុចដែលមានកូអរដោនេ (2,6)។

គេបាន

$\begin{array}{cc}{f}^{\prime }(2)& =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(2+h)-f(2)}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{5(2+h)-1-(5\cdot 2-1)}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{10+5h-1-10+1}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{5h}{h}\\ & =5\end{array}$

ដូចនេះតំលៃនៃមេគុណប្រាប់​ត្រង់ចំនុចមួយ​នៃអនុគមន៍ជាតំលៃដេរីវេនៃអនុគមន៍​ត្រង់ចំនុចនោះ។

ដេរីវេនៃអនុគមន៍ដឺក្រេទី២ (អនុគមន៍ការ៉េ)

ឧបមាថាគេមានអនុគមន៍ f កំនត់លើ $ℝ$ ដោយ

$\mathrm{\forall }x\in ℝ,f(x)=x^2$

$\mathrm{\forall }x\in ℝ,\mathrm{\forall }h\in {ℝ}^{*},\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{(x+h{)}^2-x^2}{h}$

គេអាចកំនត់មេគុណប្រាប់ទិសនៃខ្សែកោងតាមរយៈដេរីវេ។ ឧទាហរណ៍មេគុណប្រាប់ទិសនៃខ្សែកោង f(x) = x² កំនត់ដោយ

$f^{\prime }(x)$	$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$
	$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(x+h{)}^2-x^2}{h}$
	$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}$
	$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{2xh+h^2}{h}$
	$=\underset{h\to 0}{\lim }(2x+h)=2x$

ចំពោះគ្រប់តំលៃ x, មេគុណប្រាប់ទិសនៃអនុគមន៍ $f(x)=x^2$ គឺ $f^{\prime }(x)=2x$ ។

ដេរីវេនៃអនុគមន៍ពហុធាដឺក្រេទី n

សំរាយបញ្ជាក់ :

គេមានអនុគមន៍ f:

$f(x)=x^n$ កំនត់លើ $I$

$h=0$

$\mathrm{\forall }a\in I,\mathrm{\forall }(a+h)\in I$

$t(h)=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

$t(h)=\frac{(a+h{)}^n-a^n}{h}$

$t(h)=\frac{(a^n+n{a}^{n-1}h+p_3{a}^{n-2}{h}^2+p_4{a}^{n-3}{h}^3...p_{n}a{h}^{n-1}+p_{n+1}{h}^n)-a^n}{h}$

ដែលមេគុណ $p_i$ ត្រូវបានអោយដោយត្រីកោណប៉ាស្កាល់ ( $p_1=1$ និង $p_2=n$)។ គេអាចបំបាត់ $a^n$ តាម $h$ ។

$t(h)=n{a}^{n-1}+p_3{a}^{n-2}h+p_4{a}^{n-3}{h}^2...p_{n}a{h}^{n-2}+p_{n+1}{h}^{n-1}$

ដូចនេះ : $f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{\lim }t(h)=n{a}^{n-1}$

សំគាល់: អនុគមន៍គ្រប់ n អាចអោយគេរកបាននូវដេរីវេនៃអនុគមន៍ច្រាស់ និងរឺសទី n របស់វា។ ប៉ុន្តែប្រសិនបើ $n<2$ នោះអនុគមន៍នឹងមិនមានដេរីវេត្រង់ ០ ទេ។

ឧទាហរណ៍ដេរីវេរីនៃអនុគមន៍ពហុធាដឺក្រេទី៣

ចូរគណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍ខាងក្រោម

ទំព័រគំរូ:Blue. $y=2x^3+6x^2-4x+\frac{9}{\pi }$

ទំព័រគំរូ:Blue. $y=-x^3-5x^2+\frac{2}{3}x-1$

ទំព័រគំរូ:Blue. $y=\frac{5}{17}{x}^3+x^2-2x+e$

ដេរីវេ:

ទំព័រគំរូ:Blue.. $y=2x^3+6x^2-4x+\frac{9}{\pi }$

$y^{\prime }=(2x^3{)}^{\prime }+(6x^2{)}^{\prime }-(4x{)}^{\prime }+\left(\frac{9}{\pi }\right)$

$y^{\prime }=6x^2+12x-4+0$

$y^{\prime }=2(3x^2+6x-2)$

ទំព័រគំរូ:Blue.. $y=-x^3-5x^2+\frac{2}{3}x-1$

$y^{\prime }=-(x^3{)}^{\prime }-(5x^2{)}^{\prime }+\left(\frac{2}{3}x\right)-(1{)}^{\prime }$

$y^{\prime }=-3x^2-10x+\frac{2}{3}-0$

$y^{\prime }=-3x^2-10x+\frac{2}{3}$

ទំព័រគំរូ:Blue. $y=\frac{5}{17}{x}^3+x^2-2x+e$

$y^{\prime }=\left(\frac{5}{17}{x}^3\right)+(x^2{)}^{\prime }-(2x{)}^{\prime }+(e{)}^{\prime }$

$y^{\prime }=\frac{5\times 3x^2}{17}+2x-2+0$

$y^{\prime }=\frac{15x^2}{17}+2x-2$

ដេរីវេនៃអនុគមន៍ក្រោមសញ្ញារឹស √

ឧបមាគេមានអនុគមន៍ $f(x)=\sqrt{x}$

$\mathrm{\forall }x\in {ℝ}_{+}^{*},\mathrm{\forall }h\in {ℝ}^{*},h>-x,f^{\prime }(x)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}$

$=\frac{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}$

$=\frac{x+h-x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}=\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}$

គេបាន

$\mathrm{\forall }x\in {ℝ}_{+}^{*},f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

ម្យ៉ាងទៀត

$\mathrm{\forall }h\in {ℝ}_{+}^{*},\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{\sqrt{h}}{h}=\frac{1}{\sqrt{h}}$

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(h)-f(0)}{h}=+\mathrm{\infty }$

ដូច្នេះ f គ្មានដេរីវេត្រង់ ០ ទេ។

• ដូចគ្នាដែរចំពោះឧទាហរណ៍ខាងលើ ប៉ុន្តែឥឡូវយើងរកដេរីវេនៃដេរីវេ (មានន័យថារកដេរីវេទី២នៃអនុគមន៍ $f(x)=\sqrt{x}$ )
  

ឧបមាថាគេមាន $f(x)=\sqrt{x}$:

នោះគេបានដេរីវេទី២នៃ f(x) កំនត់ដោយ

$\begin{array}{cc}{f}^{″}(x)& =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f^{\prime }(x+h)-f^{\prime }(x)}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\frac{1}{2\sqrt{x+h}}-\frac{1}{2\sqrt{x}}}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{2h}(\frac{1}{\sqrt{x+h}}-\frac{1}{\sqrt{x}})\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{2h}\left(\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x+h}}{\sqrt{x}\sqrt{x+h}}\right)\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{2h}(\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x+h}}{\sqrt{x}\sqrt{x+h}}\times \frac{\sqrt{x}+\sqrt{x+h}}{\sqrt{x}+\sqrt{x+h}})\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{2h}\left(\frac{x-(x+h)}{x\sqrt{x+h}+(x+h)\sqrt{x}}\right)\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{2}\left(\frac{-1}{x\sqrt{x+h}+(x+h)\sqrt{x}}\right)\\ & =\frac{1}{2}\left(\frac{-1}{x\sqrt{x}+x\sqrt{x}}\right)\\ & =-\frac{1}{4x\sqrt{x}}\end{array}$

ដេរីវេនៃអនុគមន៍ដែលមានស្វ័យគុណជាចំនួនពិត b

គេមានអនុគមន៍ y ដែល

$y(x)=a{x}^{b}a=0,b\in ℝ$

នោះគេបានដេរីវេបន្តបន្ទាប់នៃ y កំនត់ដោយ

$\begin{array}{cc}{y}^{\prime }(x)& =ab{x}^{b-1}\\ y^{″}(x)& =ab(b-1)x^{b-2}\\ y^{‴}(x)& =ab(b-1)(b-2)x^{b-3}\\ y^{(4)}(x)& =ab(b-1)(b-2)(b-3)x^{b-4}\\ \cdots & \cdots \cdots \cdots \cdots \\ y^{(n)}(x)& =ab(b-1)(b-2)(b-3)\cdots (b-n+1)x^{b-n}\\ & =a\prod _{k=0}^{n-1}(b-k)\cdot x^{b-n}\\ \end{array}$

ដូចនេះគេបានដេរីវេទី n នៃ y ត្រូវបានផ្តល់អោយនៅលើចន្លោះកំនត់ជាក់លាក់ដោយកន្សោមខាងក្រោម៖

$\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{*}:y^{(n)}(x)=a\prod _{k=0}^{n-1}(b-k)\cdot x^{b-n}$