ប្លង់

ប្លង់ពីរប្រសប់គ្នា​នៅក្នុងលំហ

នៅក្នុងគណិតវិទ្យា ប្លង់គឺជាផ្ទៃរាបដែលមិនមានដែនកំនត់។

ធរណីមាត្រនៃអឺគ្លីត

នៅក្នុងលំហអឺគ្លីត ប្លង់មួយគឺជាផ្ទៃមួយដែលផ្ទៃនោះមានបន្ទាត់មួយកាត់តាមចំនុចពីរផ្សេងគ្នានៅលើប្លង់នោះ។

ប្លង់មួយបង្កើតដោយ៖

• ចំនុច៣មិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់តែមួយ។

• បន្ទាត់មួយនិងចំនុចមួយដែលមិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់នោះ។

• បន្ទាត់២ដែលមានចំនុចប្រសប់គ្នាមួយ(បន្ទាត់ទាំង២កាត់គ្នា)។

• បន្ទាត់ស្របគ្នា២។

ប្លង់នៅក្នុងR³

លក្ខណះ

• ប្លង់២អាចស្របគ្នា ឬ​ កាត់គ្នាបង្កើតបានបន្ទាត់មួយ។

• បន្ទាត់មួយ អាចស្របឬកាត់ប្លង់ត្រង់ចំនុចមួយ ឬ វាអាចស្ថិតនៅក្នុងប្លង់។

• បន្ទាត់២កែងនឺងប្លង់មួយ នោះបន្ទាត់ទាំង២ស្របគ្នា។

• ប្លង់២កែងនឹងបន្ទាត់មួយ នោះប្លង់ទាំង២ស្របគ្នា។

ការកំនត់ប្លង់មួយជាមួយនឹងចំនុចមួយនិងវ៉ិចទ័រប្រាប់ទិស

ក្នុងលំហ វិធីសាស្រ្តដ៏សំខាន់ក្នុងការកំនត់ប្លង់មួយគឺត្រូវរកចំនុចមួយនិងវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់របស់ប្លង់នោះ។

តាង$𝐩$ជាចំនុចមួយនៅក្នុងប្លង់ ហើយតាង $\overrightarrow{n}$ជាវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់មិនសូន្យរបស់ប្លង់។ ប្លង់ដែលត្រូវរកគឺជាសំនុំនៃចំនុចទាំងអស់$𝐫$ ដែល $\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{r𝐩}=0$។

ប្រសិនបើ $\overrightarrow{n}=\left[\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right]$, $𝐫=(x,y,z)$, $𝐩=(x_0,y_0,z_0)$ នោះប្លង់ $\mathrm{\Pi }$ កំនត់ដោយ $ax+by+cz+d=0$ ដែល a, b, c ជាចំនួនពិតមិនសូន្យ និង $d=-(a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0)$

ការកំនត់ប្លង់មួយដែលកាត់តាមបីចំនុច

• ប្លង់កាត់តាមបីចំនុច${𝐩}_1=(x_1,y_1,z_1)$, ${𝐩}_2=(x_2,y_2,z_2)$ និង ${𝐩}_3=(x_3,y_3,z_3)$ អាចត្រូវបានកំនត់ដោយសំនុំនៃគ្រប់ចំនុច (x,y,z) ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការដេទែរមីណង់ខាងក្រោម

$\left|\begin{array}{ccc}x-x_1& y-y_1& z-z_1\\ x_2-x_1& y_2-y_1& z_2-z_1\\ x_3-x_1& y_3-y_1& z_3-z_1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}x-x_1& y-y_1& z-z_1\\ x-x_2& y-y_2& z-z_2\\ x-x_3& y-y_3& z-z_3\end{array}\right|=0$

• ដើម្បីកំនត់ប្លង់ដែលមានទំរង់សមីការ $ax+by+cz+d=0$ គេត្រូវដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការខាងក្រោម

$a{x}_1+b{y}_1+c{z}_1+d=0$

$a{x}_2+b{y}_2+c{z}_2+d=0$

$a{x}_3+b{y}_3+c{z}_3+d=0$។

ប្រព័ន្ធសមីការនេះអាចត្រូវគេដោះស្រាយតាមច្បាប់Cramer ឬ តាមវិធីកាត់បន្ថយអញ្ញាត។ តាង $D=\left|\begin{array}{ccc}{x}_1& y_1& z_1\\ x_2& y_2& z_2\\ x_3& y_3& z_3\end{array}\right|$ នោះ

$a=\frac{-d}{D}\left|\begin{array}{ccc}1& y_1& z_1\\ 1& y_2& z_2\\ 1& y_3& z_3\end{array}\right|$

$b=\frac{-d}{D}\left|\begin{array}{ccc}{x}_1& 1& z_1\\ x_2& 1& z_2\\ x_3& 1& z_3\end{array}\right|$

$c=\frac{-d}{D}\left|\begin{array}{ccc}{x}_1& y_1& 1\\ x_2& y_2& 1\\ x_3& y_3& 1\end{array}\right|$

សមីការទាំងនេះគឺជាប់ប៉ារាមែត្រ d ។ យក d ស្មើនឹងចំនួនណាមួយមិនសូន្យជំនួសក្នុងសមីការទាំងនោះ គេនឹងបានសំនុំចំលើយមួយ។

• គេអាចរកប្លង់នេះតាមរយះ ចំនុចនិងវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់ដូចដែលបានរៀបរាប់ខាងលើ។

វ៉ិចទ័រណរម៉ាល់កំនត់ដោយ $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{p_2{p}_1}\times \overrightarrow{p_3{p}_1}$

ចំងាយពីចំនុចមួយទៅប្លង់មួយ

គេមាន ប្លង់$\mathrm{\Pi }:ax+by+cz+d=0$ និងចំនុច ${𝐩}_1=(x_1,y_1,z_1)$ មិនស្ថិតនៅលើប្លង់។ ប្រវែងខ្លីបំផុតពីចំនុច${𝐩}_1$ ទៅប្លង់គឺ​ :$D=\frac{|a{x}_1+b{y}_1+c{z}_1+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

បើ${𝐩}_1$ ស្ថិតនៅលើប្លង់ នោះD=0​។

បើ $\sqrt{a^2+b^2+c^2}=1$​ គេបាន :$D=|a{x}_1+b{y}_1+c{z}_1+d|$។

មុំផ្គុំរវាងប្លង់ពីរ

គេអោយប្លង់ ${\mathrm{\Pi }}_1:a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_1=0$ ដែលមានវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់ ${\overrightarrow{n}}_1$ និងប្លង់ ${\mathrm{\Pi }}_2:a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_2=0$ ដែលមានវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់ ${\overrightarrow{n}}_2$ ។

មុំផ្គុំរវាងប្លង់ទាំងពីរសំដែងដោយ ៖

$\cos \alpha =\frac{|{\overrightarrow{n}}_1\cdot {\overrightarrow{n}}_2|}{||{\overrightarrow{n}}_1||||{\overrightarrow{n}}_2||}=\frac{a_1{a}_2+b_1{b}_2+c_1{c}_2}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}\sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}$