ផលបូក រីម៉ាន

ក្នុង​គណិតវិទ្យា ផលបូក​រីម៉ាន (Riemann sum) គឺ​ជា​វិធីសាស្រ្ត​កំនត់​តំលៃ​ប្រហែល​នៃ​ក្រលាផ្ទៃ​សរុប​ខាងក្រោម​ខ្សែកោង​នៅ​លើ​ក្រាប។​ វាត្រូវបានគេដាក់ឈ្មោះតាមគណិតវិទូអាល្លឺម៉ង់ ប៊ែនហាដ រីម៉ាន (Bernhard Riemann) ។

និយមន័យ

គេមាន​អនុគមន៍ $f:[a,b]\to ℝ$ ជាប់លើចន្លោះ $I=[a,b]$ ។ គេចាត់ទុក $n\in {\mathbb{N}}^{*}$ និងបំនែកតូចៗ $x_k=a+k\frac{b-a}{n}$ ដែល $0\le k\le n$ ។

ផលបូករីម៉ាននៃ $f$ លើ $I$ កំនត់ដោយ

$S_n=\frac{b-a}{n}\sum _{k=1}^{n}f(x_k)=\sum _{k=1}^n(x_k-x_{k-1})f(x_k)$

ការអនុវត្តន៍

ផលបូករីម៉ាន​ត្រូវ​បាន​គេ​ប្រើប្រាស់​ដើម្បី​គណនា​អាំងតេក្រាល​ដោយវិធីសាស្រ្តចតុកោណកែង

$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)dt$

សំរាយបញ្ជាក់

តាម​និយមន័យ​អាំងតេក្រាល គេមាន

$(x_k-x_{k-1})f(x_k)=\underset{x_{k-1}}{\overset{x_k}{\int }}f(x_k)dt$ d'où $(x_k-x_{k-1})f(x_k)-\underset{x_{k-1}}{\overset{x_k}{\int }}f(t).dt=\underset{x_{k-1}}{\overset{x_k}{\int }}(f(x_k)-f(t)).dt$

ដោយធ្វើផលបូលចំពោះ $k\in \{1,\cdots ,n\}$ គេទទួលបាន

$S_n-\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)dt=\sum _{k=1}^n\underset{x_{k-1}}{\overset{x_k}{\int }}(f(x_k)-f(t)).dt$

ដែល $|S_n-\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)dt|\le \sum _{k=1}^n\underset{x_{k-1}}{\overset{x_k}{\int }}|f(x_k)-f(t)|dt$

គេមាន $ϵ>0$ ។ តាមទ្រឹស្តីបទហៃនេ (Heine theorem) អនុគមន៍ $f$ ជាអនុគមន៍ជាប់លើចន្លោះ $I=[a,b]$ មាន $\alpha >0$ ដែល

$\mathrm{\forall }(x,t)\in [a,b{]}^2|x-t|\le \alpha \Rightarrow |f(x)-f(t)|\le \frac{ϵ}{b-a}$

គេចាត់ទុកទំនាក់ទំនងចំពោះ n ធំគ្រប់គ្រាន់ ហេតុនេះ $\frac{b-a}{n}\le \alpha$ ។

ដូចនេះ

$\mathrm{\forall }t\in [x_{k-1};x_k]|x_k-t|\le \frac{b-a}{n}\le \alpha$

ដែល $|S_n-\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)dt|\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{ϵ}{b-a}=ϵ$

ករណីពិសេស

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{b-a}{n}\sum _{k=1}^{n}f(a+\frac{(b-a)k}{n})=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{b-a}{n}\sum _{k=0}^{n-1}f(a+\frac{(b-a)k}{n})=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$