សញ្ញាយ៉ាកូប៊ី

សញ្ញាយ៉ាកូប៊ី(Jacobi symbol)ត្រូវគេប្រើក្នុងគណិតវិទ្យាក្នុងទ្រឹស្តីបទចំនួន(លេខ)។ វាត្រូវបានគេដាក់ឈ្មោះតាមលោក ឆាល ហ្គូស្តាវ យ៉ាកូប យ៉ាកូប៊ី ។

ទ្រឹស្តីបទ

សញ្ញាយ៉ាកូប៊ីគឺជាលក្ខណៈទូទៅនៃសញ្ញាឡឺហ្សង់(Legendre Symbol)ដែលត្រូវបានបង្ហាញដោយលោក យ៉ាកូប៊ីនៅឆ្នាំ១៨៣៧។

ចំពោះគ្រប់ចំនួនគត់ $a$ និងគ្រប់ចំនួនគត់សេស $n$ សញ្ញាយ៉ាកូប៊ីគឺត្រូបានកំនត់ជា ផលគុណនៃសញ្ញាឡឺហ្សង់ដែលត្រូវគ្នានឹងកត្តាបឋមនៃ$n$។

$\left(\frac{a}{n}\right)={\left(\frac{a}{p_1}\right)}^{{\alpha }_1}{\left(\frac{a}{p_2}\right)}^{{\alpha }_2}\cdots {\left(\frac{a}{p_k}\right)}^{{\alpha }_k}$ ដែល $n=p_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2}\cdots p_k^{{\alpha }_k}$

$(\frac{a}{p})$ តាងអោយសញ្ញាឡឺហ្សង់ ដែលកំនត់ចំពោះគ្រប់ចំនួនគត់a និង​ ចំនួនសេសបឋមp ដោយ

$\left(\frac{a}{p}\right)=\{\begin{array}{c}0\text{ if }a\equiv 0(\mathrm{mod}p)\\ +1\text{ if }a\equiv ̸0(\mathrm{mod}p)\text{ and for some integer }x,a\equiv x^2(\mathrm{mod}p)\\ -1\text{ if there is no such }x.\end{array}$

ហើយ ផលគុណទទេ $\left(\frac{a}{1}\right)=1$

លក្ខណៈនៃសញ្ញាយ៉ាកូប៊ី

១. បើ $n$គឺជាចំនួនសេស នោះសញ្ញាយ៉ាកូប៊ីក៏ជាសញ្ញាឡឺហ្សង់​។

២. $\left(\frac{a}{n}\right)=\{\begin{array}{c}0\text{ if }\gcd (a,n)\ne 1\\ \pm 1\text{ if }\gcd (a,n)=1\end{array}$ ឬ $\left(\frac{a}{n}\right)\in \{0,1,-1\}$

៣. បើ$n$ មិនគូ $\left(\frac{ab}{n}\right)=\left(\frac{a}{n}\right)\left(\frac{b}{n}\right)$ ដូច្នេះ $\left(\frac{a^2}{n}\right)=1$ ឬ $0$ ៤. បើ a ≡ b (mod n) ដូច្នេះ$\left(\frac{a}{n}\right)=\left(\frac{b}{n}\right)$ បើ $n$ មិនគូ ។

៥. $\left(\frac{1}{n}\right)=1$

៦. $\left(\frac{a}{mn}\right)=\left(\frac{a}{m}\right)\left(\frac{a}{n}\right)$ ដូច្នេះ $\left(\frac{a}{n^2}\right)=1$ ឬ $0$

៧. $\left(\frac{-1}{n}\right)=(-1{)}^{\frac{(n-1)}{2}}=\{\begin{array}{cc}1& \text{if}n\equiv 1(\mathrm{mod}4)\\ -1& \text{if}n\equiv 3(\mathrm{mod}4)\end{array}$

៨. $\left(\frac{2}{n}\right)=(-1{)}^{\left(\frac{n^2-1}{8}\right)}$ ស្មើ 1 បើ n ≡ 1 (mod 8) ឬ n ≡ 7 (mod 8) ហើយ −1 បើ n ≡ 3 (mod 8) ឬ n ≡ 5 (mod 8) ។