អាំងតេក្រាលប្តូរអថេរ

ក្នុងគណិតវិទ្យា ការ​ប្តូរ​អថេរ​គឺ​ជាវិធីសាស្រ្តជំនួស​អញ្ញត្តិ​ឬ​អនុគមន៍មួយដោយអញ្ញតិ្តមួយ ឬ អនុគមន៍មួយផ្សេងទៀត។ វា​ជា​វិធីសាស្រ្ត​ដ៏​ចំបង​ក្នុង​គណនា​អាំងតេក្រាល។

ក្បួន

នេះជាក្បួនគណនាអាំងតេក្រាលដោយ​ចាប់​ផ្តើម​ពី​ទ្រឹស្តីបទដេរីវេនៃអនុគមន៍បណ្តាក់ (ឬហៅថាក្បួនឆេន, Chain Rule) ។ គេមានពីរអនុគមន៍ដេរីវេ $f,g$ និងតាមនិយមន័យអាំងតេក្រាល

$\int f^{\prime }(x)\mathrm{d}x=\int \mathrm{d}f(x)=f(x)+C$

គេបាន

$\int (\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}g(x)}f(g(x))\cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}g(x))\mathrm{d}x=\int \mathrm{d}[f\circ g(x)]=f\circ g(x)+C$

ឧទាហរណ៍

គណនាអាំងតេក្រាល

$\underset{-\sqrt{\pi }}{\overset{2\sqrt{\pi }}{\int }}2x\cos (x^2)\mathrm{d}x$

ដោយការប្តូរអថេរ $u=x^2$ ហេតុនេះ $\mathrm{d}u=2x\mathrm{d}x$ ។ $x$ ប្រែប្រួលលើចន្លោះ $-\sqrt{\pi }$ និង $2\sqrt{\pi }$ គេបាន $u$ ប្រែប្រួលលើចន្លោះ $\pi$ និង $4\pi$ ។

$\underset{-\sqrt{\pi }}{\overset{2\sqrt{\pi }}{\int }}2x\cos (x^2)\mathrm{d}x=\underset{\pi }{\overset{4\pi }{\int }}\cos (u)\mathrm{d}u=[\sin (u){]}_{\pi }^{4\pi }=\sin (4\pi )-\sin \pi =0-0=0$

ទ្រឹស្តីបទ

ពំនោលទ្រឹស្តីបទ

គេមាន $f$ ជាអនុគមន៍ជាប់ និង $\phi$ ជាអនុគមន៍នៃថ្នាក់ ${𝒞}^1$ (អាចនិយាមបានថាជាអនុគមន៍មានដេរីវេ និង ដេរីវេរបស់វាជាអនុគមន៍ជាប់) នៅលើចន្លោះ$[a,b]$ នោះគេបានរូបភាពវាជាប់នៅលើដែនកំនត់នៃ $f$ ។ ហេតុនេះ

$\underset{\phi (a)}{\overset{\phi (b)}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)\mathrm{d}t$

សំរាយបញ្ជាក់

គេមាន $f$ ជាអនុគមន៍ជាប់ និងមានព្រីមីទីវ $F$ លើដែនកំនត់ $D$ ។ អនុគមន៍ $F\circ \phi$ ជាអនុគមន៍មានដេរីវេ​ ដែលជាបណ្តាក់នៃពីរអនុគមន៍ គេបាន

$(F\circ \phi {)}^{\prime }=(f\circ \phi )\times {\phi }^{\prime }$

ដែល

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)\mathrm{d}t=\underset{a}{\overset{b}{\int }}((f\circ \phi )\times {\phi }^{\prime })(t)\mathrm{d}t$

$=\underset{a}{\overset{b}{\int }}(F\circ \phi {)}^{\prime }(t)\mathrm{d}t$

$={[F\circ \phi ]}_a^b$

$=F(\phi (b))-F(\phi (a))$

$=\underset{\phi (a)}{\overset{\phi (b)}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$

វិធីសាស្ត្រប្តូរអថេរចំពោះអនុគមន៍អសនិទាន

ដើម្បីគណនា

$\int f(x,\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+\mathrm{d}}})\mathrm{d}x$

ដែល $f$ ជាអនុគមន៍អសនិទាននៃពីរអថេរ។ n ជាចំនួនគត់ធម្មជាតិ និង a, b, c, d ជាចំនួនពិតគេអោយ។ គេតាង

$u=\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+\mathrm{d}}}$

ករណីអាំងតេក្រាលច្រើនជាន់

គេមាន f ជាអនុគមន៍ច្រើនអថេរ ម្យ៉ាងវិញទៀតការប្តូរអថេរនៃដែនកំនត់អាំងតេក្រាល គេប្រើយ៉ាកូបីនៃបំលែងឡាប្លាសនៃ ${\phi }^{\prime }$ ។ យ៉ាកូបី​គឺជា​ដេទែមីណង់​នៃ​ម៉ាទ្រីសយ៉ាកូបី​។ គេអោយរូបមន្តអិចផ្លីស៊ីត (explicit) នៃការប្តូរអថេរ គេបាន

$\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\underset{T}{\iint }f(\varphi (u,v),\mathrm{\Psi }(u,v))|\frac{\partial (\varphi ,\mathrm{\Psi })}{\partial (u,v)}(u,v)|\mathrm{d}u\mathrm{d}v$