អនុគមន៍សនិទានឆិប៊ីសេវ

ចំនុចដៅនៃ​អនុគមន៍សន្និទានឆិប៊ីសេវ​ចំពោះ n=0,1,2,3 និង 4 ចំពោះ x នៅចន្លោះ0.01 និង 100

ក្នុងគណិតវិទ្យា អនុគមន៍សនិទានឆិប៊ីសេវ (Chebyshev rational functions) គឺជាស្វ៊ីតនៃអនុគមន៍ទាំងសនិទាន និង អសនិទាន។ អនុគមន៍សន្និទានឆិប៊ីសេវនៃដឺក្រេ n កំណត់ដោយ

$R_n(x)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}{T}_n\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$

ដែល $T_n(x)$ គឺពហុធាឆិប៊ីសេវនៃប្រភេទទី១។

លក្ខណៈនៃអនុគមន៍សនិទានឆិប៊ីសេវ

លក្ខណៈជាច្រើនអាចត្រូវបានទាញចេញពីលក្ខណៈនៃពហុធាឆិប៊ីសេវនៃប្រភេទទី១។ លក្ខណៈផ្សេងទៀតគឺមានលក្ខណៈតែមួយចំពោះអនុគមន៍ខ្លួនវា។

ទំនាក់ទំនងរវាងតួជាប់គ្នា (Recursion)

$R_{n+1}(x)=2\frac{x-1}{x+1}{R}_n(x)-R_{n-1}(x)\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{n}\mathrm{\ge }\mathrm{1}$

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

$(x+1{)}^2{R}_n(x)=\frac{1}{n+1}\frac{d}{dx}{R}_{n+1}(x)-\frac{1}{n-1}\frac{d}{dx}{R}_{n-1}(x)\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{n}\mathrm{\ge }\mathrm{2}$

$(x+1{)}^{2}x\frac{d^2}{d{x}^2}{R}_n(x)+\frac{(3x+1)(x+1)}{2}\frac{d}{dx}{R}_n(x)+n^2{R}_n(x)=0$

អរតូកូណាល់

ចំនុចដៅនៃតំលៃដាច់ខាតនៃលំដាប់ទី៧ (n=7) អនុគមន៍សន្និទានឆិប៊ីសេវ​ចំពោះ x នៅចន្លោះ 0.01 និង 100 ។

$\omega (x)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\frac{1}{(x+1)\sqrt{x}}$

អរតូកូណាល់នៃអនុគមន៍សនិទានឆិប៊ីសេវអាចត្រូវបានគេសរសេរ

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{R}_m(x)R_n(x)\omega (x)dx=\frac{\pi c_n}{2}{\delta }_{nm}$

ដែល $c_n$ ស្មើ ២ ចំពោះ n=0 និង $c_n$ ស្មើ ១ ចំពោះ $n\ge 1$ និង ${\delta }_{nm}$ គឺជាអនុគមន៍ដែលតាក្រូនិកឃើ (Kronecker delta function) ។

ការពន្លាតអនុគមន៍

ចំពោះអនុគមន៍ $f(x)\in L_{\omega }^2$ ទំនាក់ទំនងអរតូកូណាល់អាចត្រូវបានគេប្រើប្រាស់ដើម្បីពន្លាតអនុគមន៍ $f(x)$:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{F}_n{R}_n(x)$

ដែល

$F_n=\frac{2}{c_n\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)R_n(x)\omega (x)dx$

លំលៃពិសេស

$R_0(x)=1$

$R_1(x)=\frac{x-1}{x+1}$

$R_2(x)=\frac{x^2-6x+1}{(x+1{)}^2}$

$R_3(x)=\frac{x^3-15x^2+15x-1}{(x+1{)}^3}$

$R_4(x)=\frac{x^4-28x^3+70x^2-28x+1}{(x+1{)}^4}$