ប្រសព្វរវាងបន្ទាត់និងប្លង់

ប្រសព្វរវាងបន្ទាត់និងប្លង់

ចំនុចប្រសព្វរវាងបន្ទាត់និងប្លង់(Line-plane intersection) អាចជាសំនុំទទេ ចំនុចមួយ ឬបន្ទាត់មួយ ។

ទំរង់ប៉ារ៉ាម៉ែត

បន្ទាត់មួយត្រូវរៀបរាប់ដោយគ្រប់ចំនុចដែលជាទិសដៅដែលផ្តល់ ពីចំនុចមួយ ។ ដូចនេះ បន្ទាត់អាចសំដែងរាងជា

${𝐥}_a+({𝐥}_b-{𝐥}_a)t,t\in ℝ$

ដែល ${𝐥}_a=(x_a,y_a,z_a)$ និង ${𝐥}_b=(x_b,y_b,z_b)$ ជាចំនុចពីរផ្សេងគ្នានៅលើបន្ទាត់ ។

ដូចគ្នាដែរ ចំពោះប្លង់

${𝐩}_0+({𝐩}_1-{𝐩}_0)u+({𝐩}_2-{𝐩}_0)v,u,v\in ℝ$

ដែល ${𝐩}_k=(x_k,y_k,z_k)$, $k=0,1,2$ ជាបីចំនុចស្ថិតនៅក្នុងប្លង់ ហើកូលីនេអ៊ែ(ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់តែមួយ) ។

ចំនុចដែលជាប្រសព្វរវាងបន្ទាត់និងប្លង់ ត្រូវគេរៀបរាប់ដោយដាក់សមីការបន្ទាត់ស្មើនឹងសមីការប្លង់ ក្នុងទំរង់ជាសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត

${𝐥}_a+({𝐥}_b-{𝐥}_a)t={𝐩}_0+({𝐩}_1-{𝐩}_0)u+({𝐩}_2-{𝐩}_0)v$

វាអាចត្រូវគេសំរួលជា

${𝐥}_a-{𝐩}_0=({𝐥}_a-{𝐥}_b)t+({𝐩}_1-{𝐩}_0)u+({𝐩}_2-{𝐩}_0)v$

ដែលអាចដាក់ក្នុងទំរង់ម៉ាទ្រីស ជា

$\left[\begin{array}{c}{x}_a-x_0\\ y_a-y_0\\ z_a-z_0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{x}_a-x_b& x_1-x_0& x_2-x_0\\ y_a-y_b& y_1-y_0& y_2-y_0\\ z_a-z_b& z_1-z_0& z_2-z_0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}t\\ u\\ v\end{array}\right]$

ចំនុចប្រសព្វគឺ

${𝐥}_a+({𝐥}_b-{𝐥}_a)t$

បើបន្ទាត់ស្របនឹងប្លង់ នោះវ៉ិចទ័រ${𝐥}_b-{𝐥}_a$, ${𝐩}_1-{𝐩}_0$ និង ${𝐩}_2-{𝐩}_0$ ជាលីនេអ៊ែពឹងពាក់គ្នា ហើយម៉ាទ្រីសជាម៉ាទ្រីសទោល ។ ចំលើយនេះកើតឡើងក្នុងករណីបន្ទាត់ស្ថិតនៅក្នុងប្លង់ ។

បើចំលើយផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌ $t\in [0,1],$ នោះចំនុចប្រសព្វស្ថិតនៅលើបន្ទាត់រវាង ${𝐥}_a$ និង ${𝐥}_b$ ។

បើចំលើយផ្ទៀងផ្ទាត់

$u,v\in [0,1],(u+v)\le 1$

នោះចំនុចប្រសព្វស្ថិតនៅក្នុងប្លង់ ហើយស្ថិតនៅក្នុងត្រីកោណដែលបង្កើតដោយបីចំនុច

${𝐩}_0$, ${𝐩}_1$ និង ${𝐩}_2$ ។

បញ្ហានេះជាទូទៅត្រូវគេដោះស្រាយដោយសំដែងវា ក្នុងទំរង់ម៉ាទ្រីស និង​ម៉ាទ្រីសច្រាស

$\left[\begin{array}{c}t\\ u\\ v\end{array}\right]={\left[\begin{array}{ccc}{x}_a-x_b& x_1-x_0& x_2-x_0\\ y_a-y_b& y_1-y_0& y_2-y_0\\ z_a-z_b& z_1-z_0& z_2-z_0\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{c}{x}_a-x_0\\ y_a-y_0\\ z_a-z_0\end{array}\right]$

ទំរង់ពិជគណិត

សមីការប្លង់អាចត្រូវគេកំនត់ដោយ

$𝐩\cdot 𝐧=d$

ដែល $𝐩=(x,y,z)$ ជាចំនុចមួយនៅលើប្លង់ ហើយ$𝐧$ ជាវ៉ិទ័រណរម៉ាល់នឹងប្លង់ ។ វ៉ិចទ័រណរម៉ាល់អាចត្រូវរកឃើញដោយ

$({𝐩}_1-{𝐩}_0)\times ({𝐩}_2-{𝐩}_0)$ and $d={𝐩}_0\cdot 𝐧$ ។

ដោយដាក់បញ្ចូលសមីការបន្ទាត់ វាអោយ

$({𝐥}_a+t({𝐥}_b-{𝐥}_a))\cdot 𝐧=d$

និង

$t=\frac{-d-{𝐥}_a\cdot 𝐧}{({𝐥}_b-{𝐥}_a)\cdot 𝐧}$ ។

ក្នុងរាងជាកូអរដោនេ បើ $𝐧=(a,b,c)$ នោះសមីការប្លង់សំដែងដោយ

$ax+by+cz=d$

និង

$t=\frac{-d-a{x}_a-b{y}_a-c{z}_a}{a(x_b-x_a)+b(y_b-y_a)+c(z_b-z_a)}$

បើទិសដៅនៃបន្ទាត់ $({𝐥}_b-{𝐥}_a)$ កែងនឹងវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់ភាគបែងស្មើនឹងសូន្យ ។ បើ បន្ទាត់ស្ថិតក្នុងប្លង់ នោះទាំងភាគបែង និងភាគយកស្មើនឹងសូន្យ សមីការផ្ទៀងផ្ទាត់ចំពោះគ្រប់តំលៃនៃ t ។