សញ្ញាណត្រីកោណខុនវេ

ក្នុងធរណីមាត្រ សញ្ញាណត្រីកោណខុនវេ (Conway triangle notation)ដែលត្រូវបានដាក់ឈ្មោះតាមលោក ចន ហរតុន ខុនវេ(John Horton Conway) អនុញ្ញាតអោយអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនៃត្រីកោណមួយ ត្រូវដាក់ជាលក្ខណៈពិជគណិត ។ គេអោយត្រីកោណដែលមានជ្រុង a, b និង c ហើយមានមុំក្នុងA, B និង C រៀងគ្នា ។ សញ្ញាណត្រីកោណខុនវេ សំដែងដោយ

$S=bc\sin A=ac\sin B=ab\sin C$

ដែល S = 2 × ជាផ្ទៃនៃត្រីកោណ ហើយ :$S_{\phi }=S\cot \phi$

ជាពិសេស

$S_A=S\cot A=bc\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2}$

$S_B=S\cot B=ac\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2}$

$S_C=S\cot C=ab\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2}$

$S_{\omega }=S\cot \omega =\frac{a^2+b^2+c^2}{2}$      ដែល $\omega$ជាមុំប៊្រូកាត(Brocard angle)។

$S_{\frac{\pi }{3}}=S\cot \frac{\pi }{3}=S\frac{\sqrt{3}}{3}$

$S_{2\phi }=\frac{S_{\phi }^2-S^2}{2S_{\phi }}{S}_{\frac{\phi }{2}}=S_{\phi }+\sqrt{S_{\phi }^2+S^2}$    ចំពោះតំលៃរបស់   $\phi$  ដែល   $0<\phi <\pi$

$S_{\vartheta +\phi }=\frac{S_{\vartheta }{S}_{\phi }-S^2}{S_{\vartheta }+S_{\phi }}{S}_{\vartheta -\phi }=\frac{S_{\vartheta }{S}_{\phi }+S^2}{S_{\phi }-S_{\vartheta }}$

ដូច្នេះ

$\sin A=\frac{S}{bc}=\frac{S}{\sqrt{S_A^2+S^2}}\cos A=\frac{S_A}{bc}=\frac{S_A}{\sqrt{S_A^2+S^2}}\tan A=\frac{S}{S_A}$

លក្ខណៈសំខាន់ខ្លះៗ

$\sum _{\text{cyclic}}{S}_A=S_A+S_B+S_C=S_{\omega }$

$S^2=b^2{c}^2-S_A^2=a^2{c}^2-S_B^2=a^2{b}^2-S_C^2$

$S_B{S}_C=S^2-a^2{S}_A{S}_A{S}_C=S^2-b^2{S}_B{S}_A{S}_B=S^2-c^2{S}_C$

$S_A{S}_B{S}_C=S^2(S_{\omega }-4R^2)$

ដែល R ជាកាំនៃរង្វង់ចារឹកក្រៅ ហើយ $abc=2SR$​ ។

$\sin A\sin B\sin C=\frac{S}{4R^2}\cos A\cos B\cos C=\frac{S_{\omega }-4R^2}{4R^2}$

$\sum _{\text{cyclic}}\sin A=\frac{S}{2Rr}\sum _{\text{cyclic}}\cos A=\frac{S^2-4S_{\omega }{r}^2-12R{r}^3}{4R{r}^3}$    ដែល $r$ ជា កាំនៃរង្វង់ចារឹកក្នុង ហើយ    $a+b+c=\frac{S}{r}$

រូមន្តមានប្រយោជន៍ខ្លះៗ

$\sum _{\text{cyclic}}{a}^2{S}_A=a^2{S}_A+b^2{S}_B+c^2{S}_C=2S^2\sum _{\text{cyclic}}{a}^4=2(S_{\omega }^2-S^2)$

$\sum _{\text{cyclic}}{S}_A^2=S_{\omega }^2-2S^2\sum _{\text{cyclic}}{S}_B{S}_C=S^2\sum _{\text{cyclic}}{b}^2{c}^2=S_{\omega }^2+S^2$

ឧទាហរណ៍ខ្លះដោយប្រើសញ្ញាណត្រីកោណខុនវេ

តាងD ជាចំនុចរវាងពីរចំនុច P និង Q ដែលកូអរដោនេទ្រីលីនេអ៊ែរ(trilinear coordinates)របស់វា គឺ p_a : p_b : p_c and q_a : q_b : q_c ។ តាង K_p = ap_a + bp_b + cp_c ហើយតាង K_p = aq_a + bq_b + cq_c ។ នោះ D អោយដោយរូបមន្ត

$D^2=\sum _{\text{cyclic}}{a}^2{S}_A{(\frac{p_a}{K_p}-\frac{q_a}{K_q})}^2$

ដោយប្រើរូបមន្តនេះ គេអាចគណនា OHដែលជាចំងាយរវាងផ្ចិតនៃរង្វង់ចារឹកក្រៅ​ និងអរតូសង់ ដូចខាងក្រោម

ចំពោះផ្ចិតរង្វង់ចារឹកក្រៅ $p_a=a{S}_A$ និង ចំពោះអរតូសង់ $q_a=\frac{S_B{S}_C}{a}$

$K_p=\sum _{\text{cyclic}}{a}^2{S}_A=2S^2{K}_q=\sum _{\text{cyclic}}{S}_B{S}_C=S^2$

ដូច្នេះ

$\begin{array}{cc}{D}^2& =\sum _{\text{cyclic}}{a}^2{S}_A{(\frac{a{S}_A}{2S^2}-\frac{S_B{S}_C}{a{S}^2})}^2\\ & =\frac{1}{4S^4}\sum _{\text{cyclic}}{a}^4{S}_A^3-\frac{S_A{S}_B{S}_C}{S^4}\sum _{\text{cyclic}}{a}^2{S}_A+\frac{S_A{S}_B{S}_C}{S^4}\sum _{\text{cyclic}}{S}_B{S}_C\\ & =\frac{1}{4S^4}\sum _{\text{cyclic}}{a}^2{S}_A^2(S^2-S_B{S}_C)-2(S_{\omega }-4R^2)+(S_{\omega }-4R^2)\\ & =\frac{1}{4S^2}\sum _{\text{cyclic}}{a}^2{S}_A^2-\frac{S_A{S}_B{S}_C}{S^4}\sum _{\text{cyclic}}{a}^2{S}_A-(S_{\omega }-4R^2)\\ & =\frac{1}{4S^2}\sum _{\text{cyclic}}{a}^2(b^2{c}^2-S^2)-\frac{1}{2}(S_{\omega }-4R^2)-(S_{\omega }-4R^2)\\ & =\frac{3a^2{b}^2{c}^2}{4S^2}-\frac{1}{4}\sum _{\text{cyclic}}{a}^2-\frac{3}{2}(S_{\omega }-4R^2)\\ & =3R^2-\frac{1}{2}{S}_{\omega }-\frac{3}{2}{S}_{\omega }+6R^2\\ & =9R^2-2S_{\omega }.\end{array}$

នាំអោយ

$OH=\sqrt{9R^2-2S_{\omega }}$